一、齐次平衡法的一个新应用（论文文献综述）
王燕[1]（2018）在《孤立子与可积系统有关问题及分数阶微分方程的研究》文中研究说明孤立子方程是以物理问题或现象作为背景而提出的一种数学模型,在数学领域的研究中,既推动了数学的发展,如Lie群在微分方程中的应用,也使人们对孤立子这一物理现象的认识更为深刻,进而提出更多的模型来研究相关性质。孤立子理论作为应用数学和数学物理的一个重要组成部分,其研究内容和方法是十分丰富的,可以通过几何的工具和方法建立孤立子方程,可以用Lie代数理论等进行可积系统的研究,也可以利用数值分析的方法进行孤立子方程解的研究。近年来,国内外学者以不同的风格从不同的角度推动着这一理论向前发展。本文在已有工作的基础上,由自对偶Yang-Mills方程的约化产生可积系统,由对称空间及齐次空间产生可积系统并研究黎曼曲率张量表示,由一些矩阵和算子Lie代数生成可积晶格族,并研究其拟哈密顿形式和达布变换;利用对称等对非线性演化方程进行约化求解;利用分数阶导数与局部分数阶导数研究分数阶微分方程及其应用。本文共分为五章。第一章介绍所研究问题的背景和研究意义、研究现状以及本文的主要工作。第二章研究可积系统及其有关性质。第二节利用时空对称得到自对偶的Yang-Mills方程的一个约化,并建立一个Lax对。通过一个适当的指数变换,变换此Lax对得到一个新的Lax对,它的相容性条件产生一些偏微分方程。第三节引进二次算子?x和?y的线性静态方程,由特征函数为N阶的多项式得到一个线性演化方程。在齐次空间下由两个线性方程的可积性条件得到了一个二阶方程流。作为厄米特对称空间的应用,我们引进一对谱问题,由此得到了一个新的（2（10）1）维广义薛定谔方程。第四节给出了两类矩阵Lie代数,由此建立了相应的两类loop代数。我们利用第一类loop代数获得了一个新的（1+1）维的可积离散族。利用第二类loop代数引入一个等谱问题推导出了一个新的可积离散族,利用由屠规彰提出的迹恒等式推导出它的拟哈密顿结构。也获得了后面的可积离散族的一个约化离散系统的一类Darboux变换。我们通过一个矩阵Lie代数根据一个给定的谱问题引进两类算子Lie代数,利用r-矩阵理论获得一些新的晶格可积系统,包括两个（2+1）维的晶格系统。第三章研究非线性演化方程的对称约化与求解。第一节通过经典的Lie群法和推广的对称法分析（2+1）维的推广的PainlevéBurgers系统。第二节把连续的经典的Lie群法推广到微分-差分方程,李群技巧、对称约化法及有理展开法被用来研究微分-差分方程。约化的相对Toda晶格系统被用来作为一个例子来阐述这个解的过程。第四章研究分数阶微分方程。介绍分数阶导数的定义,分形空间与连续空间的转变,分形空间中基本力学定律,分数阶微分方程的求解方法。通过分数阶变换,利用修正的指数函数法求解分数阶的微分方程,比如分数阶的Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程、分数阶的Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程及分数阶的Hirota-Satsuma（HS）方程。用变分迭代法求解局部分数阶导数下两个修正的KdV方程。第五章总结了本文的主要结果,并对后续的研究进行了展望。
张泸爻[2]（2017）在《MKdV族与MNW族的新解及KdV型方程解的新算法》文中研究表明从数学角度来看,在非线性偏微分方程中,孤子是一类特殊的解.伴随着孤立子理论的发展,寻找非线性偏微分方程的孤波解是孤子理论中的一个有意义的工作,具有重要的理论与实际应用价值,也是一个非常值得探究的课题.Hirota双线性方法、F展开法和指数函数法是非线性偏微分方程的三个构造性求解方法,这样的方法不依赖于方程的谱问题或Lax对,使得求解过程更加直接.本文在介绍孤子理论的研究历史及其发展状况的基础上,一方面将Hirota双线性方法和F展开法分别推广应用于新的mKdV族和MNW族,另一方面利用所提出的指数函数法的新算法求解一个KdV型方程.本文的主要工作如下:第二章利用Hirota双线性方法求解一个以常系数mKdV族为特例的新的变系数mKdV族.首先,通过引入有效变换将此变系数mKdV族进行双线性化,得到其双线性形式.其次基于所得的双线性形式,利用截断展开技术构造出变系数mKdV族的新单孤子解、双孤子解、三孤子解,同时归纳出N孤子解的一般数学表达式,并对所得部分孤子解的演化行为特征进行图像模拟。第三章基于F展开法构造非线性偏微分方程精确解的具体步骤,将F展开法推广应用于一个新的MNW方程族,获得许多新的Jacobi椭圆函数解.在模趋于1和0的极限情形下,由这些所获得的Jacobi椭圆函数解得到许多新的双曲函数解和三角函数解.为便于讨论所得精确解的局域空间结构以及解的动力演化,本部分还插入了一些解的二维和三维图像。第四章首先概述了本文所提出指数函数法的一个直接算法,此算法的优点在于与原指数函数法相比较在计算过程中出现“中间表达式膨胀”的程度较小.其次,为进一步找到此算法的新的应用实例,考虑了一个变系数KdV型方程,结果获得此KdV型方程含多个系数函数形式的精确孤波解,从中显示出所提出的指数函数法的一个新算法的优越性及其广泛的应用范围。
王昭玉[3]（2016）在《非线性演化方程多波解的几个构造性方法》文中研究说明指数函数法、齐次平衡法和Hirota双线性方法是孤子理论近些年发展起来的求解非线性偏微分方程的重要方法,这三种方法都属于构造性的求解方法。构造性求解方法是先给出非线性方程的含待定参量拟解的一个假设形式,再将拟解代入方程中确定拟解中的待定参量,从而求得非线性方程的一些特解。构造性求解非线性方程精确解的方法不依赖于Lax对,具有简捷、直观的鲜明特点,使求解过程更加直接。多波解是非线性偏微分方程的一类相互作用解,包括奇异多孤子解和非奇异多孤子解,研究多波解是孤子理论中的重要研究课题之一。本文一方面将指数函数法与齐次平衡法进行改进与推广,以便用于构造复系数非线性偏微分方程和变系数非线性偏微分方程多波解。另一方面,给出Hirota双线性方法在构造变系数方程组多孤子解中的一个新应用。本文的主要工作有:首先,绪论部分简单介绍孤子理论的产生、发展以及几种求孤子方程精确解的方法,并对本文的主要工作进行简单概述;其次,通过改进拟解的假设形式提出指数函数法构造复系数非线性偏微分方程单孤子解、双孤子解以及N-孤子解的方法,并以薛定谔方程为例对求解过程进行详细的阐述;再次,基于给定假设拟解中变量的有理分式,改进齐次平衡法的一些步骤,进而提出构造非线性偏微分方程多波解的改进齐次平衡法。在算法应用举例中,求得变系数Gardner方程的单孤子解、双孤子解、三孤子解,并归纳出N-孤子解的一般性公式;最后,利用给出Hirota双线性方法在求解变系数Whitham-Broer-Kaup方程组多孤子解中的一个新应用,从中得到方程的单孤子解、双孤子解、三孤子解以及N-孤子解公式。在求解过程中我们所采用的一个有效变换发挥出重要作用,这个变换便于得到变换后方程的双线性形式,进而为Hirota双线性方法进行求解提供必要条件。
田池[4]（2015）在《非线性偏微分方程求解的双线性与辅助方程法》文中研究表明孤子理论在众多领域中应用非常广泛,它与物理、生物学等学科都有着密切的联系。由于从各个领域中可以导出各种类型的非线性发展方程,所以求解非线性偏微分方程的精确解有着实际意义和应用价值。双线性方法和辅助方程法是两种直接、有效的求解非线性演化方程精确解的方法,虽然在近些年得到了蓬勃的发展,但有待于进一步研究。本文研究的主要出发点是将双线性方法和辅助方程法推广到几个较复杂的非线性演化方程中,得到其新精确解。在绪论部分,我们介绍了孤立子理论的概况以及双线性方法和辅助方程法的历史及发展前景,并以F展开法为例概述了辅助方程法求解非线性偏微分方程的具体过程。在第二章,我们先以变系数KdV方程为例叙述了双线性方法的具体求解步骤,然后将双线性方法分别推广应用到（4+1）维Fokas方程和新的广义耦合方程,从而获得新的单孤子解、双孤子解以及n孤子解一般表示形式,并模拟了单孤子解的直线传播、双孤子解和三孤子解之间的弹性碰撞演化图。在第三章和第四章,我们给出了辅助方程法的两个新应用,得到了含有七次偏导数项方程和变系数方程的新精确解。
彭傲雪[5]（2014）在《辅助方程法求解若干非线性演化方程的研究》文中研究表明孤立子理论的一个重要研究方向就是求解非线性演化方程的精确解。辅助方程法作为一种有效快速的求解非线性演化方程精确解的方法，在近几年得到了较为广泛的应用。本文主要研究的是辅助方程法求解若干非线性演化方程的问题。绪论部分，介绍了孤立子理论在历史上的几大重要的历史事件和辅助方程法的历史及发展前景。概述几种常用的辅助方程法，其中包括Riccati方程法、F-展开法、 G’G-展开法、范辅助方程法，并介绍和分析辅助方程法求解非线性演化方程的过程，进而阐述了辅助方程法的一些优点。对辅助方程法在非线性演化方程的应用进行了拓展，提出修正的范辅助方程法求解非线性演化方程，在这部分以3+1维Jimbo-Miwa方程和3+1维势Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程为例，结果获得了新形势的解。给出含有六次非线性项的辅助方程法的一个新应用，求得21维Konopelchenko–Dubrovsky方程的许多解。
乌敦其其格[6]（2012）在《辅助方程法的推广与1+1维五阶kdv方程的精确孤立波解》文中指出本文将辅助方程法中的解的展式取为更一般的形式进而推广辅助方程法并给出1+1维非线性发展方程的精确孤立波解。
乌敦其其格,斯仁道尔吉[7]（2012）在《辅助方程法与（2+1）维Bogoyavlenskii′s广义破裂孤子方程的精确孤立波解》文中研究说明本文将辅助方程法中的解的展式取为更一般的形式进而推广辅助方程法,并给出（2+1）维Bogoyav-lenskii′s广义破裂孤子方程的精确孤立波解.
套格图桑[8]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中研究说明1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
王燕[9]（2010）在《对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论》文中进行了进一步梳理本文以探究非线性发展方程精确解的孤子理论为依据,在导师孙福伟教授的指导下,研究了在诸多自然科学领域有着广泛应用的低维变系数非线性发展方程与高维变系数非线性耦合方程求解精确解尤其是精确孤立波解的方法。论文第一章介绍国内外非线性科学中孤立子理论研究的历史与发展,重点简述求解非线性发展方程精确解的几种主要方法及该方法在国内外的研究现状。论文第二章第一部分详述Painleve分析方法在国内外的发展情况和用它求解非线性发展方程精确解的具体步骤,第二部分将Painleve分析方法用于研究非线性发展方程精确解的前沿领域之一：变系数非线性发展方程,以变系数KdV-Burgers方程为实例,求解变系数KdV-Burgers方程的精确解表达式及Backlund变换,并通过形象的、简单易行的图示描述由此变系数非线性发展方程所确定的精确孤立波解。论文第三章在理解第二章研究成果的基础上,继续探究非线性发展方程应用的高新技术领域：变系数、高维、耦合系统,继续用Painleve分析方法求解高维变系数非线性耦合方程的精确解,以有背景相互作用的2+1维变系数非线性Schodinger耦合系统为典型,求解出该变系数高维耦合系统的精确解表达式及Backlund变换,分析由此高维变系数耦合方程所确定的精确解,同样以图示方式阐释其中的精确孤立波解,深化用Painleve分析方法求解高维、变系数、耦合非线性系统精确解的研究。论文第四章总结研究成果,分别指出第二章、第三章用Painleve分析方法处理变系数、高维、耦合等这些非线性发展方程研究中的复杂问题时的物理理论根源,解释据此所采取的数学解决方法的变通与改进,分析在综合以上复杂问题时所能确定出的精确孤立波解的物理意义,延伸求解非线性发展方程精确解中对孤立子理论的探讨,挖掘课题研究中的独立创新及缺点不足,展望非线性科学发展的前景。
于海杰[10]（2008）在《Painlevé截断展开与非线性发展方程的精确解》文中研究表明本文研究内容主要涉及孤立子理论中精确求解非线性发展方程的Backlund变换法,Painlevé截断展开法,CK直接约化法等几个方面。引言中主要介绍了孤立子概念的产生、孤立波的发展及其意义和本文的主要工作。第二章介绍了Painlevé分析法及其新进展。第三章利用Painlevé分析法得到了修正KdV方程的递推算子及其共振点。第四章应用Painlevé截断展开法求解了几个非线性发展方程。第五章在修改文献[57]几处笔误的基础上应用CK直接约化法求解了一类描述方向上存在可变剪切流动的长波变系数Boussinesq方程的相似解,这种解不同于用Painlevé截断展开法求出的解。
二、齐次平衡法的一个新应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、齐次平衡法的一个新应用（论文提纲范文）
（1）孤立子与可积系统有关问题及分数阶微分方程的研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤立子的背景和研究意义 |
| 1.2 孤立子的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作简介 |
| 2 可积系统及其有关性质 |
| 2.1 可积系统概述 |
| 2.2 自对偶的Yang-Mills方程的约化与可积系统 |
| 2.3 由对称空间及齐次空间产生可积系统及黎曼曲率张量表示 |
| 2.4 可积晶格族及拟哈密顿结构与达布变换 |
| 3 非线性演化方程的对称约化与求解 |
| 3.1 由连续的经典李群法求对称 |
| 3.2 向量分析的推广对称法及一个(2+1)维系统的约化 |
| 3.3 由离散的经典李群法求对称及约化的相对Toda晶格系统的精确解 |
| 4 分数阶微分方程 |
| 4.1 分数阶导数的定义 |
| 4.2 分形空间与连续空间的转变 |
| 4.3 分形空间中基本力学定律 |
| 4.4 分数阶微分方程的求解 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（2）MKdV族与MNW族的新解及KdV型方程解的新算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤子理论的研究概况 |
| 1.2 非线性偏微分方程的几种求解方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 F展开法 |
| 1.2.3 指数函数法 |
| 2 双线性方法构造新MKDV族的多孤子解 |
| 2.1 新mKdV族的双线性化 |
| 2.2 多孤子解 |
| 3 F展开法构造MNW族的新解 |
| 3.1 MNW族 |
| 3.2 MNW族的新解 |
| 4 指数函数法的直接算法及其在KDV型方程中的新应用 |
| 4.1 指数函数法的一个直接算法 |
| 4.2 新应用 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 论文发表情况 |
| 致谢 |
（3）非线性演化方程多波解的几个构造性方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤子理论概况 |
| 1.2 求孤子方程精确解的几种构造性求解方法 |
| 1.2.1 指数函数法 |
| 1.2.2 齐次平衡法 |
| 1.2.3 Hirota双线性方法 |
| 1.3 本文组织结构 |
| 2 指数函数法构造复系数方程的多波解 |
| 2.1 方法简述 |
| 2.2 薛定谔方程的多波解 |
| 2.3 多波解的图像 |
| 3 齐次平衡法构造变系数方程的多孤子解 |
| 3.1 变系数Gardner方程的单孤子解 |
| 3.2 改进齐次平衡法构造多孤子解 |
| 4 双线性方法构造变系数WBK方程的多波解 |
| 4.1 变系数WBK方程组的转化形式 |
| 4.2 变系数WBK方程组的多波解 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 论文发表情况 |
| 致谢 |
（4）非线性偏微分方程求解的双线性与辅助方程法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的概况 |
| 1.2 双线性方法的历史与发展 |
| 1.3 辅助方程法的历史与发展 |
| 1.4 本文的构成 |
| 2 双线性方法的新应用 |
| 2.1 基本方法简述 |
| 2.1.1 应用于变系数Kd V方程 |
| 2.2 应用于高维和耦合方程 |
| 2.2.1 （4+1）维Fokas方程精确解 |
| 2.2.2 新的广义耦合Kd V方程的精确解 |
| 2.3 本章总结 |
| 3 辅助方程法在含高阶偏导数项方程中的新应用 |
| 3.1 广义辅助方程法简述 |
| 3.2 几种常见的辅助方程法 |
| 3.2.1 双曲函数法 |
| 3.2.2 指数函数法 |
| 3.3 一个新的应用 |
| 3.3.1 应用于含高阶偏导数项方程 |
| 3.4 本章总结 |
| 4 辅助方程法在变系数方程中的新应用 |
| 4.1 应用于变系数Gardner方程 |
| 4.2 本章总结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文情况 |
| 致谢 |
（5）辅助方程法求解若干非线性演化方程的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| CONTENTS |
| 1 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的概况 |
| 1.2 辅助函数法的历史与发展 |
| 1.3 本文的构成 |
| 2 几种常见的辅助方程法的概述 |
| 2.1 广义辅助方程法 |
| 2.2 几种常见的辅助方程法 |
| 2.2.1 Riccati 方程法 |
| 2.2.2 F-展开法 |
| 2.2.3 G'G-展开法 |
| 2.2.4 范辅助方程法 |
| 2.3 本章总结 |
| 3 修正的范辅助方程方法及应用 |
| 3.1 基本方法简述 |
| 3.2 方法应用算例 |
| 3.2.1 应用于 3+1 维势 YTSF 方程 |
| 3.2.2 应用于 3+1 维 Jimbo-Miwa 方程 |
| 3.3 本章总结 |
| 4 辅助方程法在 KD 方程中的应用 |
| 4.1 辅助方程及其特解 |
| 4.2 (2+1)维KD方程的精确解 |
| 4.3 本章总结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文情况 |
| 致谢 |
（7）辅助方程法与（2+1）维Bogoyavlenskii′s广义破裂孤子方程的精确孤立波解（论文提纲范文）
| 1 辅助方程法的推广 |
| 2 方法的应用 |
（8）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（9）对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 摘要 |
| 1.1 非线性发展方程 |
| 1.2 孤立子理论的研究与发展 |
| 1.3 求解非线性发展方程精确解的若干方法 |
| 第二章 变系数KdV-Burgers方程的精确解及其Backlund变换 |
| 2.1 构造非线性发展方程精确解的Painleve方法 |
| 2.2 变系数KdV-Burgers方程的精确解Backlund变换 |
| 第三章 2+1维变系数非线性Schrodinger耦合方程的精确解及Backlund变换 |
| 3.1 非线性Schrodinger方程的研究现状 |
| 3.2 变系数非线性Schrodinger耦合方程的精确解及其Backlund变换 |
| 第四章 结论 |
| 参考文献 |
| 在校研究成果 |
| 致谢 |
（10）Painlevé截断展开与非线性发展方程的精确解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引论 |
| （一） 孤立波的发展及其意义 |
| （二） 本文研究的内容 |
| 第二章 非线性发展方程的Painlevé性质 |
| （一） 常微分方程的Painlevé性质及试验 |
| 1. 常微分方程的Painlevé性质 |
| 2. 常微分方程的Painlevé试验 |
| （二） 偏微分方程的Painlevé性质 |
| （三） 偏微分方程的Painlevé试验 |
| 第三章 修正KdV 方程的递推算子及其共振点 |
| 1 方法基本思想 |
| 2 修正 KdV 方程的递推算子及共振点 |
| 第四章 Painlevé截断展开法与非线性发展方程的解 |
| 1. 广义变系数 KdV 方程 |
| 2 . (1+1)维 KdV 型方程 |
| 3. 广义 Burgers 方程的精确解 |
| 4. 广义 sine-Gordon 方程的精确解 |
| 5. 广义 Boussinesq 方程的精确解 |
| 第五章 一类变系数Boussinesq 方程的相似约化解 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、齐次平衡法的一个新应用（论文参考文献）
- [1]孤立子与可积系统有关问题及分数阶微分方程的研究[D]. 王燕. 中国矿业大学, 2018(12)
- [2]MKdV族与MNW族的新解及KdV型方程解的新算法[D]. 张泸爻. 渤海大学, 2017(08)
- [3]非线性演化方程多波解的几个构造性方法[D]. 王昭玉. 渤海大学, 2016(12)
- [4]非线性偏微分方程求解的双线性与辅助方程法[D]. 田池. 渤海大学, 2015(01)
- [5]辅助方程法求解若干非线性演化方程的研究[D]. 彭傲雪. 渤海大学, 2014(08)
- [6]辅助方程法的推广与1+1维五阶kdv方程的精确孤立波解[J]. 乌敦其其格. 内蒙古财经学院学报(综合版), 2012(04)
- [7]辅助方程法与（2+1）维Bogoyavlenskii′s广义破裂孤子方程的精确孤立波解[J]. 乌敦其其格,斯仁道尔吉. 内蒙古民族大学学报(自然科学版), 2012(04)
- [8]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [9]对某类变系数非线性发展方程精确解的讨论[D]. 王燕. 北方工业大学, 2010(08)
- [10]Painlevé截断展开与非线性发展方程的精确解[D]. 于海杰. 内蒙古师范大学, 2008(11)