一、一种求解二维扩散方程的分块隐式方法（论文文献综述）
单秀杰[1]（2021）在《几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法》文中提出随着科学技术的快速发展,数字图像已被广泛应用于遥感航天、临床医学等领域。图像去噪作为图像处理领域最基本的问题之一,其结果对图像处理后续任务,如图像分割、特征提取以及目标识别等起着至关重要的作用。如何在有效去噪的同时保持图像细节是一个很具挑战性的问题。基于偏微分方程（Partial Differential Equation,PDE）的图像去噪方法由于具有丰富的理论背景和较好的实验效果,且可与深度学习、变分、滤波等方法相结合,因而得到了广泛关注。但该方法仍面临诸多挑战:无法有效恢复乘性噪声严重污染图像;纹理图像去噪PDE模型研究不充分;PDE去噪模型快速求解算法设计困难等。本文针对以上挑战,结合乘性噪声特性和分数阶Fick定律,分别对乘性噪声严重污染图像和乘性噪声纹理图像进行PDE建模及求解算法研究。进一步基于预处理和子空间收缩技术,对低场核磁共振（Magnetic Resonance,MR）图像PDE去噪模型设计快速求解算法。主要研究内容如下:首先,针对乘性噪声严重污染图像的去噪问题,本文提出了一种具有光滑解的非线性扩散方程去噪模型。模型的核心在于构造一个基于图像梯度值和灰度值的非线性扩散系数,其中梯度用于估计图像边缘信息,灰度值信息用于更好地保护图像低灰度值区域特征。同时在新构造的扩散系数中使用卷积正则化克服方程可能出现的退化或奇性。本文利用Schauder不动点定理证明模型弱解的存在性。与其他扩散去噪模型不同,本文进一步给出了解的光滑性,这一特性使得模型可被多种数值算法稳定求解。本文利用快速显式扩散方法、算子分裂技术以及基于Fourier变换的谱方法对模型进行加速求解。与经典变分和PDE去噪模型的实验对比表明,新模型在处理图像中较高水平的乘性噪声时具有更好的去噪效果。其次,针对包含乘性Gamma噪声的纹理图像去噪问题,本文提出了一种基于分数阶Fick定律的空间分数阶扩散方程去噪模型。新模型的机理在于使用Riemann-Liouville分数阶导数构造含分数阶纹理探测算子的扩散流,分数阶扩散流的非局部性使得模型在去除乘性噪声时能够保持纹理细节。不同于分数阶变分模型,新模型避免求解分数阶对偶算子,计算复杂度低,这一构造思想为分数阶扩散方程去噪模型提供了新的研究思路。针对该模型的求解方法,本文利用Grünwald-Letnikov逼近对模型进行有限差分离散,针对产生的非稀疏系数矩阵线性系统,使用快速显式扩散方法加速求解。利用系数矩阵的特征值估计,得到了快速显式扩散算法的数值稳定性。实验对比表明,新模型在对乘性噪声污染的纹理图像去噪时能够有效保持纹理细节。最后,针对低场MR图像PDE去噪模型,本文提出了基于Krylov子空间的快速求解算法。由于PDE去噪模型中的扩散系数会影响迭代矩阵条件数,因而常用的隐式迭代求解方法可能需要更多迭代次数才能收敛。本文使用预处理器来近似迭代矩阵以减小其条件数,同时利用子空间收缩技术去除迭代矩阵的孤立特征值,提升共轭梯度（Conjugate Gradient,CG）法收敛速度,得到PDE去噪模型求解的快速算法。并对预处理矩阵进行分析得到矩阵条件数,实现预处理共轭梯度法迭代次数的预估,该值可被用于验证数值实验正确性,进一步提升算法稳定性。实验结果表明,新算法在求解MR图像PDE去噪模型时,具有很高的计算效率和实际应用价值。
蹇焕燕[2]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中认为分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
刘凯[3]（2021）在《致密油藏压敏效应及基质裂缝间窜流规律研究》文中进行了进一步梳理压敏效应和基质裂缝间窜流规律研究是致密油藏压裂开发的基本问题,直接关系到数值模拟精度,影响开发方案的制定。针对目前商业化数值模拟软件普遍基于稳定渗流理论、压敏模型形式简单、预测结果可信度低的问题,本论文通过开展济阳坳陷砂砾岩、浊积岩和滩坝砂致密储层基质压敏实验,明确了不同沉积类型致密储层基质压敏规律,建立了考虑杨氏模量和渗透率初值的基质压敏经验模型;为了拓展压敏模型的普适性,结合泊肃叶定律、Hertz接触变形理论及CT结构扫描实验,建立了基于岩石杨氏模量和孔隙结构参数的广义压敏模型。通过开展微裂缝压敏实验,明确了不同渗透率级别微裂缝压敏规律,建立了考虑裂缝渗透率初值的微裂缝压敏经验模型。通过开展主裂缝导流能力实验,明确了主裂缝导流能力长期变化分为闭合初期和闭合稳定期;基于力学变形理论,建立了主裂缝闭合初期考虑支撑剂性能、支撑剂浓度、储层沉积岩类型、储层渗透率和闭合应力的导流能力初值计算模型;基于实验结果,建立了致密储层考虑导流能力初值和时间因素的长期导流能力变化模型,用于计算主裂缝导流能力连续变化过程。根据致密储层压裂改造区基质、微裂缝的双重介质特性,建立了考虑启动压力梯度和压敏效应的基质/裂缝窜流压力扩散方程,分别求解了窜流早期（压力未传播到基质中心）和窜流晚期（拟稳定期）的基质系统压力分布和平均压力,从而建立了致密油藏基质/裂缝非线性窜流模型;通过设计基质/裂缝窜流实验,完成了理论窜流模型的不同基质渗透率、基岩尺寸、基质岩性和裂缝渗透率实验验证;依据窜流实验结果,对理论模型进行了修正,修正的窜流模型较W&R和Kazemi经典模型计算精度提高了26.5个百分点。通过引入建立的基质、微裂缝压敏模型、主裂缝导流能力模型和基质/裂缝非线性窜流模型,建立了致密油藏基质/微裂缝/主裂缝三重介质非线性渗流耦合数学模型;对数学模型进行差分离散,构建了大型稀疏系数矩阵,并提出了系数矩阵不完全LU预处理方法及广义总体共轭梯度平方求解算法。本论文建立了能够反映致密油藏开发特征的渗流数学模型、系数矩阵及求解方法,这为编制致密油藏数值模拟软件提供了理论支撑。将建立的非线性渗流耦合数学模型应用于渤海湾盆地济阳坳陷王587块浊积岩致密储层,与商业化软件Eclipse相比,开发初期产量计算精度提高了13.3个百分点;应用非线性渗流耦合模型优化的王587块合理开发政策是采用交错排状井网、井距350m、排距150m、裂缝半长120m及地层压力系数1.1。
赵永良[4]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中研究表明分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
王亚辉[5]（2021）在《中子输运与传热流动耦合的格子Boltzmann数值建模》文中认为核反应堆精细中子输运-传热-流动（Neutron Transport-Thermal-Hydraulics,NTH）耦合计算是先进反应堆数值模拟的研究重点之一,涉及中子物理、流体力学以及传热学等多学科交叉。由于中子输运模拟的复杂性以及不同物理过程之间的差异性,堆芯内部耦合NTH过程的精细模拟仍需深入研究。本文基于实现简单,具有强并行性和多场耦合优势的格子Boltzmann（Lattice Boltzmann,LB）方法,发展了中子输运高精度LB模型,建立了中子输运LB模型的自适应、非结构网格以及大规模GPU并行加速方法,并在此基础上构建了NTH模拟的统一LB框架。建立了中子输运高精度LB模型并编制了相应的计算程序。针对中子输运SN方程、SP3方程以及中子扩散方程,建立了高精度LB模型。通过高阶Chapman-Enskog展开建立了高精度中子扩散LB模型,在不明显提高计算复杂度的前提下有效提高计算精度;采用耦合双分布LB模型通过高阶Chapman-Enskog展开建立了中子输运SP3方程高精度LB模型,保持了标准LB模型所有优势并有效提高计算精度;从离散速度Boltzmann方程出发,建立了中子输运SN方程有限差分LB模型,提高了准确性和稳定性。数值结果表明,以上高精度LB模型具有比标准LBM更高的精度和稳定性,同时对多维非均匀堆芯以及时空动力学问题具有较高的精度和良好的适应性。将中子输运LB模型发展到自适应网格和非规则网格条件,建立了中子输运自适应网格和非结构网格LB模型并编制了相应的计算程序。针对先进反应堆内部复杂中子分布,发展了自适应调整网格分布同时网格之间关系明确的迁移流分块自适应网格优化（Streaming-Based Block-Structured Adaptive-Mesh-Refinement,SSAMR）中子输运LB模型。消除了传统自适应网格技术的复杂树状数据结构,并克服了多块网格技术灵活性差的问题。为提高复杂堆芯几何适应性,发展了非结构网格有限体积中子输运LB模型,能灵活模拟复杂几何中子输运问题。模拟结果表明,基于SSAMR的中子输运LB模型能准确模拟多群中子输运问题,同时能灵活而简单地自适应调整网格结构;非结构网格中子输运LB模型能准确而灵活地适用于不同几何堆芯结构。对中子输运LB模型开展了并行加速技术研究,建立了GPU并行加速的中子输运LBM技术并编制了相应的计算程序。针对精细反应堆数值模拟耗时长的特点,发展了GPU集群并行加速的中子输运LB模型。由于中子输运LB计算简单且局部性强,极适合于GPU多线程并行加速计算。针对中子输运SN方程的角度离散特性,发展了空间-角度二级并行的GPU加速中子输运SN方程LB模型。结果表明,GPU并行加速中子输运LB模型能有效提高计算效率,同时空间-角度二级并行加速能进一步提高中子输运SN方程LB模型的计算速度。在以上研究的基础上,针对反应堆堆芯多物理耦合条件,建立了中子输运-传热-流动耦合LB计算框架并编制了多物理耦合LB计算程序。在中子输运LB数值计算方法的基础上,耦合传热、流动计算过程,建立了细致求解反应堆核、热、流耦合过程的统一LB框架lbm NTH。将中子输运SN、SP3以及扩散方程等三种常用中子输运控制方程,导热及对流换热等传热形式,以及Navier-Stokes和LES方程等流动控制方程统一到LB框架下进行求解,并在统一的数据结构及离散格式下考虑其耦合关系。为适用于液态核燃料堆芯,基于有限Boltzmann形式发展了液态燃料缓发中子先驱核守恒LB模型。数值结果表明,lbm NTH框架可以灵活而准确地模拟耦合NTH过程;小尺度条件下中子输运SP3近似比中子扩散近似能更准确地模拟中子输运过程;温度反馈在高温条件下有很强的作用;提高慢化剂流速能有效改善传热并展平温度分布,有利于堆芯安全稳定运行。综上,为实现核反应堆内中子输运过程与传热、流动过程的耦合求解,本文建立了中子输运过程高精度LB数值模拟方法,并在统一LB框架下实现了中子输运、传热、流动过程耦合模拟。本文工作是工程热物理理论在核工程领域的有效应用和拓展,可以为反应堆多物理耦合研究及大规模工程应用提供一种新的思路。
张艳明[6]（2020）在《分数阶扩散方程高阶数值方法研究》文中提出分数阶微分方程被广泛用于描述具有记忆和遗传性质的复杂动力学问题。但由于分数阶微分算子的非局部结构,只有极少数简单的分数阶微分方程能够用解析方法求解。这使得分数阶微分方程的数值求解成为紧迫且重要的研究课题。本文将致力于构造Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的高阶数值方法,并给出这些方法的稳定性和收敛性的理论分析。本文的主要内容包括以下四个部分:构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法,其构造思想是分别用s-级隐式Runge-Kutta方法和谱Galerkin方法离散方程的时间变量和空间变量。对于满足代数稳定性的p（p≥s+1）阶s-级隐式Runge-Kutta方法,证明了该方法是稳定的且在时间方向是s+1阶收敛的。并利用方程解的正则性估计,给出了收敛阶仅依赖于初值和右端函数的最优空间误差估计。另外,结合高精度的Gauss-Legendre求积公式,这类方法还被推广到线性Riesz型空间分布阶扩散方程上,并得到了类似的稳定性和收敛性结果。通过在时间方向引入k-步向后差分公式（BDF）,并在空间方向采用谱Galerkin方法,构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类具有低计算量且在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法。该方法避免了隐式Runge-Kutta方法计算量高的问题。利用G-理论和乘子技巧,证明了该方法是稳定的且在时间方向是k（k≤5）阶收敛的,并给出了该方法在空间方向的最优误差估计。另外,还将这类方法推广到二维线性Riesz型空间分数阶扩散方程上,并给出相应的稳定性和收敛性结果。利用涵盖面非常广的一般线性方法,并结合谱Galerkin方法,进一步构造了线性Riesz型空间分数阶扩散方程的一类更广泛的在时间和空间方向同时具有高阶的数值方法。对于一般级阶为p阶且满足代数稳定性和不可约性一般线性方法,证明了该方法是稳定的且在时间方向为p阶收敛的。并且,还给出了该方法在空间方向的最优误差估计。针对更为复杂的二维非线性Riesz型空间分数阶扩散方程,利用s-级隐式Runge-Kutta方法和谱Galerkin方法,构造了一类在时间和空间方向都具有高阶的数值方法。对于满足代数稳定性和强制性的s-级隐式Runge-Kutta方法,当方程的非线性项满足Lipschitz条件时,证明了该方法的稳定性。当s-级隐式Runge-Kutta方法为p（p≥s+1）阶时,还证明了该方法在时间方向为s+1阶收敛的,并给出收敛阶不依赖于方程解的最优空间误差估计。另外,这类方法还被应用于求解二维非线性Riesz型空间分布阶扩散方程,并得到类似的稳定性和收敛性结果,其中分布阶用Gauss-Legendre求积公式离散。
高静[7]（2020）在《时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法》文中研究说明分数阶偏微分方程相较于整数阶偏微分方程在模拟异常扩散运动或长程空间相互反应和记忆效应等具有挑战性的现象中提供了更为有效的模型[57,60,68],并引起了广泛的研究（see,e.g.,[7,16,17,21,22,28,35,36,38,39,47,56,75,86]）.文献中的大多数工作都集中在利用分数阶偏微分方程来模拟异常扩散运动,包括次扩散运动和超扩散运动或两者的结合。对于一维时空分数阶对流方程来说,Meerschaert在文章[59]证明了通过直接截断Grunwald-Letnikov分数阶导数得到的时空分数阶对流方程的隐式差分逼近是不稳定的。其原因是数值近似只需左边界条件即可唯一确定数值解,而连续问题的解析解需要由区间两端的边界条件唯一确定。与分数阶扩散问题不同,在两个边界条件产生的锋面相对移动的意义下,双边分数阶对流问题的两个边界条件是相互抵消的,就像整数阶对流扩散方程的拐点问题一样。这种现象使得数值计算方面存在一些困难,如假振荡、低振荡、超振荡以及其他数值计算困难等。基于这些考虑,我们遵循[50,99,100,101,103]中的思想,构造了一种空间分数阶和时空分数阶对流方程的满足保界性质的数值方法,使得所得到的数值近似能够消除假振荡和低振荡、超振荡现象。由于分数阶微分算子包含具有奇异性的积分算子,空间分数阶偏微分方程的数值方法通常产生稠密或满的刚度矩阵,此外,由于时间分数阶偏微分方程的记忆效应,时间分数阶偏微分方程的数值离散产生的数值格式包含了所有历史时间步的数值解。因此,计算量和存储量的显着增加使得分数阶偏微分方程模型的实际应用非常困难。针对空间分数阶导数采用坐标方向形式的多维空间分数阶偏微分方程的数值格式,利用其刚度矩阵的类Toeplitz结构和刚度矩阵的张量积结构,提出了一种快速数值方法,该方法在每次Krylov子空间迭代中将存储量从O（N2）降低到O（N）,计算量从O（N3）降低到O（N log N）.一般情况下,分数阶偏微分方程的空间导数采用分数阶方向导数形式。而分数阶方向导数形式的分数阶方程的数值方法产生的刚度矩阵比坐标形式的相应的刚度矩阵在结构上要复杂得多。换句话说,空间分数阶方向导数偏微分方程模型比坐标形式的空间分数阶偏微分方程模型在物理上更具一般化,更难处理。本文结构如下:第一章简要介绍了分数阶导数算子的历史和一些基本定义。然后给出了与本文的快速算法相关的一些特殊矩阵。第二章和第三章分别阐述了一维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程和二维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程的显式有限差分方法,证明了它的保界性质和误差估计。并且提出了该格式的一种快速实现方法,可以显着降低计算量和存储量。同时利用数值实验来证实理论分析的结果及快速实现的性能。第四章分析了包含空间分数阶方向导数的时空分数阶偏微分方程的一种快速Galerkin有限元方法,证明了该方法的误差估计。并给出了快速数值实现方法,这种方法大大降低了计算过程中每次迭代的计算量,从O（MN3+M2N）降低到O（MN log（MN））.此外,快速实现将存储量从O（MN2）降低到O（N log M）.通过数值实验,本文验证了该章理论分析的正确性,并对快速实现的性能进行了研究。
谢悦[8]（2020）在《浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用》文中指出在处理突发水污染环境事件中,污染物在河流中的分布情况可以用对流扩散方程来描述。同样很多其他环境相关的问题也都可以转化为对流扩散方程的问题进行分析和解决。因此,对流扩散方程在环境监测以及对污染物的预测和处理领域有着十分重要的意义。但是,很多对流扩散方程问题难以找到解析解,需要对其进行数值求解,而对于突发性水污染事件而言,精确的通过数值计算得到污染物精确扩散位置以及浓度的同时,时效性也是不可或缺的。针对浓度对流扩散方程的数值求解问题,本文主要研究内容如下:文章的第一部分首先针对浓度对流扩散方程进行高精度离散,对内点构造两层八点隐格式,进而,构造与内点格式精度相匹配的边界层差分格式,对浓度对流扩散方程的时间和空间项分别进行相应阶数的泰勒展开,使用待定系数法求出差分格式的差分系数,得到浓度对流扩散方程内点以及边界的时间三阶,空间六阶精度隐式差分格式。进而,对一般情况下的一维高精度差分格式进行Von Neumann稳定性分析,随后对相应算例进行数值验证。最终证明了本文构造的所有格式均满足时间三阶,空间六阶的精度要求,且在一定条件下稳定,稳定性范围宽广,同时一定范围内可以高精度计算对流系数较大的对流占优扩散方程问题。文章的第二部分首先基于第一章构造的高精度差分格式对所得到的三对角方程组提出了一种新的并行计算方法。在p个计算机处理核心分组并行处理的基础上可以并行计算,使得整体并行计算的效率更高,数值算例表明:该并行方法简单易行,解决了隐格式的不易并行计算的问题,并且加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,加速比和方程分块数基本满足线性关系,在保持高精度求解的基础上实现了优良的并行效果。值得注意的是在求解过程中,组与组交叉的未知量可以形成块三对角方程,同样可以使用该方法进行并行计算,可以更大程度上的提高并行求解的效率。因此,本文提出的并行方法适用于二维乃至更高维度的对流扩散方程的并行计算,本文以二维对流扩散方程数值求解为例,给出了本方法和串行方法的计算时间对比分析。加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,且能够很好的保持求解过程的精度需求。文章第三部分对并行计算过程中使用的并行语句进行深入分析,揭示了其循环中的系统周转时间、循环控制和计算规模对于计算效果的影响,通过采用内存映射的方法,高效访问磁盘上由于太大而无法保留在内存中或需要花太长时间而无法加载的大数据集,解决了大型矩阵的数据通讯时间影响整提计算速度的问题。利用MEX混合编译和MATLAB的扩展特性,同时结合C语言进行编码,将计算中的大型循环计算使用C/C++和MATLAB混合编译来完成。高效提升求解大型三对角方程时的并行效果。文章第四部分给出了本文所构造的高精度差分格式在实际环境问题中的应用。分别以上游围油栏作为第一类固定边界,下游收油装置作为第一类移动边界,模拟对河道溢油事故的处理过程。通过采用本文构建的一维浓度对流扩散方程高精度差分格式,数值模拟了溢油发生时,围油栏和收油装置作处理装置时溢油浓度的变化。
赵媛媛[9]（2020）在《求解对流扩散方程的一种边界型方法研究》文中研究说明对流扩散方程是一类基本的运动方程,方程中包含扩散项及对流项,可用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中传热等众多物理现象。但对于这类方程,除了极少数简单情形,大部分问题目前还无法求得精确解,所以利用数值方法进行数值模拟是求解这类问题的主要方法,构造精确、稳定和高效的数值方法成为研究这类问题的重要内容。本文提出了一种边界型方法—半边界法用于数值求解线性及非线性对流扩散方程,并通过与其他数值方法的比较展示了半边界法在求解精度及效率方面的优势。半边界法的主要思想是利用混合变量将微分方程降阶,通过积分运算推导出相邻节点上变量之间的关系,进而推导出求解域内任意节点上变量与一半边界处未知量的关系,利用边界条件解出边界上的未知量后,再利用前述关系式得到任意节点上的全部变量。该方法中未知量只存在于一半的边界条件上,是边界型方法。值得注意的是,半边界法虽然属于边界型方法,但与传统的边界元法完全不同,在建立离散方程时它不需一个基本解,而是直接建立含有混合变量的微分方程。相比于有限体积法,在网格数量相同时半边界法中未知量少,对于一维问题求解过程中涉及到的计算矩阵只有二阶,不必要去求解大型的矩阵方程,减小了计算量并且节省计算所需内存,可以仅求解指定位置节点上的变量值,不需要全部求解。另外,新引入的未知量存在物理意义,使得半边界法可以求得全局解。针对对流扩散方程,对流占优问题一直是值得关注的问题之一。这类问题具有双曲性质,其解函数有大梯度变化的边界层,并且表征对流占优的Peclet数越大,边界层越薄。传统的数值计算方法在求解此类问题时,在边界层区域可能会出现数值振荡,无法得到准确的数值结果。对于对流占优问题,在相同节点数的情况下,利用半边界法求解能够得到较有限体积法更加准确的数值解,另外,通过利用不均匀节点分布减小局部Peclet数,可以在保证计算效率的基础上得到更加准确的数值解。对于对流占优问题,半边界法在计算精度上存在优势。另外,许多研究都是基于常系数模型,这样在求解时非常便利,但在描述许多实际工程问题时,对流扩散方程中的系数往往不是常数,甚至有可能出现间断系数。间断系数是变系数问题的一种特殊情况,由于间断处的不连续,对于很多方法而言在间断处需要设置连续性条件,这就使得其需要求解的方程增多,整体矩阵增大,计算效率下降。但对于半边界法而言,间断处无需特殊设置连续性条件,这对于求解间断模型的问题具有优势。应用于实际问题中的对流扩散方程并非都是线性的,很多方程的系数都与解有一定的关系,因此会出现非线性对流扩散方程的形式。Burgers方程是一类典型的非线性对流扩散方程,具有非线性对流项,可用作不可压Navier-Stokes方程的模型方程。由于非线性方程的复杂性,对流项的非线性往往使得解在某些区域产生剧烈的梯度,求其数值解就更加困难。针对非线性对流扩散问题,半边界法引入迭代算法,将非线性的系数利用迭代值近似,其他的求解分析步骤就与线性方程相同。通过对非线性对流扩散方程的具体问题进行求解,半边界法能够获得准确的收敛解,针对对流占优情况下的非线性对流扩散方程,利用非均匀网格同样可以获得稳定的高精度解。
谢雅宁[10]（2020）在《求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用》文中研究说明四阶无核边界积分（kernel-free boundary integral,以下简称KFBI）方法是求解复杂区域上椭圆型偏微分方程快速,稳定的高精度数值方法.它是边界积分方法与直角网格方法的结合,既区别于传统边界积分方法对格林函数的依赖,又避免了直角网格方法对复杂区域刻画的限制.本文将从研究背景,理论基础,核心算法,相关应用及拓展五个方面对求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法展开详细内容.KFBI方法是传统边界积分方法的改进与发展.由位势理论,原椭圆型方程边值问题可转化为与之对应的边界积分方程.离散的边界积分方程可由Krylov子空间迭代法求解.本文将用到两种子空间迭代,即Richardson迭代法及广义最小残量法.传统边界积分方法对方程中的体积分及边界积分的计算依赖于积分核的精确表达式,而KFBI方法将此过程转化为在直角网格下求解与积分等价的界面问题.本文将给出两种直角网格方法用于求解此类等价界面问题,即四阶精度有限差分方法及二阶精度定制有限点方法.不同直角网格方法对不同维度等价界面问题的求解均包含四个核心步骤,即利用紧格式离散控制方程,对界面附近不规则点处的离散格式做修正,快速算法求解线性系统以及插值提取解在界面处单侧极限信息.对于有限差分方法,本文采用二维的九点格式或三维27点格式离散,对该格式的修正只改变线性系统的右端项而保持系数矩阵不变,所得线性系统由基于快速傅立叶变换的椭圆方程快速求解器进行求解,边界处单侧极限信息由空间四阶多项式插值得到.对于定制有限点方法,利用修正的Bessel函数或指数函数的局部展开式可构造相应的二阶定制有限点格式,定制有限点修正及定制有限点插值,线性系统的求解采用一般迭代法如预处理的共轭梯度法.本文将重点介绍基于四阶精度有限差分方法求解等价界面问题的KFBI方法及其应用,包括该方法在求解二维空间二阶椭圆型方程边值问题,四阶双调和方程边值问题,复空间基于Helmholtz方程的声波多体散射问题及三维空间二阶椭圆型方程边值问题上的直接应用,以及该方法作为空间离散方法分别与时间方向的四阶精度复合向后差分公式或三阶半隐半显Runge-Kutta格式相结合用于求解不可压流体的Stokes及Navier-Stokes方程上的间接应用.同时,本文特别给出为求解奇异扰动问题而设计的基于二阶定制有限点方法求解等价界面问题的KFBI方法,及其在解决带有奇异扰动的反应扩散方程上的应用.其中时间方向离散采用二阶半隐半显Runge-Kutta格式.
二、一种求解二维扩散方程的分块隐式方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一种求解二维扩散方程的分块隐式方法（论文提纲范文）
（1）几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 研究现状及分析 |
| 1.2.1 基于PDE的图像去噪模型 |
| 1.2.2 PDE图像去噪模型求解算法 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 具有光滑解的非线性扩散方程去噪模型 |
| 2.1 非线性扩散方程去噪模型 |
| 2.2 模型理论分析 |
| 2.3 数值算法 |
| 2.3.1 显式有限差分法 |
| 2.3.2 快速显式扩散方法 |
| 2.3.3 加性算子分裂方法 |
| 2.3.4 Krylov子空间谱方法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 算法对比 |
| 2.4.2 模型实验对比 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 基于分数阶Fick定律的分数阶扩散方程去噪模型及算法设计 |
| 3.1 分数阶导数定义 |
| 3.2 基于分数阶Fick定律的空间分数阶扩散方程去噪模型 |
| 3.3 数值算法 |
| 3.3.1 有限差分方法 |
| 3.3.2 快速显式扩散方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 算法对比 |
| 3.4.2 实验分析 |
| 3.5 模型的扩展 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 低场MR图像PDE去噪模型的快速求解算法 |
| 4.1 低场MR图像去噪模型及算法设计 |
| 4.1.1 基于PDE的低场MR图像去噪模型 |
| 4.1.2 收缩预处理共轭梯度法 |
| 4.2 预处理器 |
| 4.2.1 Jacobi预处理器 |
| 4.2.2 AOS预处理器 |
| 4.2.3 移位Laplace算子DCT预处理器 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（3）致密油藏压敏效应及基质裂缝间窜流规律研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 创新点摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究目的及意义 |
| 1.2 国内外研究现状及存在问题 |
| 1.2.1 非线性渗流研究现状 |
| 1.2.2 压敏效应研究现状 |
| 1.2.3 基质/裂缝窜流研究现状 |
| 1.2.4 油藏数值模拟研究现状 |
| 1.2.5 存在问题 |
| 1.3 主要研究内容及思路 |
| 1.3.1 研究内容 |
| 1.3.2 研究思路 |
| 第二章 致密储层基质及微裂缝压敏效应 |
| 2.1 致密储层基质压敏实验 |
| 2.1.1 储层有效应力特征 |
| 2.1.2 实验材料及方法 |
| 2.1.3 实验结果 |
| 2.1.4 基质压敏规律 |
| 2.2 致密储层基质压敏模型 |
| 2.2.1 压敏经验模型 |
| 2.2.2 压敏理论模型 |
| 2.3 致密储层微裂缝压敏实验 |
| 2.3.1 储层有效应力特征 |
| 2.3.2 微裂缝岩心制作 |
| 2.3.3 实验材料及方法 |
| 2.3.4 实验结果 |
| 2.3.5 微裂缝压敏规律 |
| 2.4 致密储层微裂缝压敏模型 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 致密储层主裂缝长期导流能力变化规律 |
| 3.1 主裂缝长期导流能力实验方法 |
| 3.1.1 闭合应力范围 |
| 3.1.2 实验材料及方法 |
| 3.2 主裂缝长期导流能力影响因素 |
| 3.2.1 支撑剂性能 |
| 3.2.2 支撑剂浓度 |
| 3.2.3 储层沉积岩类型 |
| 3.2.4 储层渗透率 |
| 3.2.5 闭合应力 |
| 3.3 主裂缝长期导流能力计算模型 |
| 3.3.1 闭合不稳定期导流能力理论推导 |
| 3.3.2 闭合稳定期导流能力经验模型 |
| 3.3.3 模型验证及误差分析 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 致密储层基质/裂缝非线性窜流理论模型 |
| 4.1 非线性窜流模型的建立 |
| 4.1.1 非线性渗流方程 |
| 4.1.2 窜流压力扩散方程 |
| 4.2 窜流模型的求解 |
| 4.2.1 无量纲化 |
| 4.2.2 窜流早期基质的平均压力 |
| 4.2.3 窜流晚期基质的平均压力 |
| 4.3 理论窜流方程的确定 |
| 4.3.1 形状因子的半解析解 |
| 4.3.2 窜流方程的半解析解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 致密储层基质/裂缝窜流实验验证 |
| 5.1 基质/裂缝窜流实验设计 |
| 5.1.1 实验物理模型设计 |
| 5.1.2 实验设备及流程 |
| 5.2 理论模型的实验验证 |
| 5.2.1 不同基质渗透率窜流实验 |
| 5.2.2 不同基岩尺寸窜流实验 |
| 5.2.3 不同基质岩性窜流实验 |
| 5.2.4 不同裂缝渗透率窜流实验 |
| 5.3 理论模型的实验修正 |
| 5.3.1 理论模型误差分析 |
| 5.3.2 理论模型修正 |
| 5.3.3 窜流新模型与传统模型对比评价 |
| 5.4 致密储层基质/裂缝窜流规律 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 致密油藏多重介质耦合数学模型及应用 |
| 6.1 多重介质耦合数学模型的建立 |
| 6.1.1 多重介质中的流动规律 |
| 6.1.2 多重介质间窜流规律 |
| 6.1.3 三维三相基质物质守恒方程 |
| 6.1.4 三维三相微裂缝物质守恒方程 |
| 6.1.5 三维三相压裂主裂缝物质守恒方程 |
| 6.2 模型的数值离散 |
| 6.2.1 基质模型数值离散 |
| 6.2.2 微裂缝模型数值离散 |
| 6.2.3 主裂缝模型数值离散 |
| 6.2.4 水平井筒处理 |
| 6.2.5 井点处理 |
| 6.3 离散模型系数矩阵的构建及求解方法 |
| 6.3.1 系数矩阵的构建方法 |
| 6.3.2 大型稀疏线性方程组预处理方法 |
| 6.4 致密油藏数值模拟的应用 |
| 6.4.1 区块概况 |
| 6.4.2 地质建模 |
| 6.4.3 数值模拟效果验证 |
| 6.4.4 合理注水井网优化 |
| 6.4.5 合理井距排距优化 |
| 6.4.6 合理压裂规模优化 |
| 6.4.7 合理地层压力优化 |
| 6.4.8 合理开发政策应用效果 |
| 6.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 A CT结构扫描实验 |
| 附录 B 压力控制方程的解 |
| 附录 C 基质差分方程组的全隐式方法展开 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（4）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（5）中子输运与传热流动耦合的格子Boltzmann数值建模（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 堆芯中子输运-传热-流动耦合计算的研究 |
| 1.2.2 中子输运问题的研究 |
| 1.2.3 中子输运并行计算的研究 |
| 1.2.4 格子Boltzmann方法及其在反应堆模拟的研究 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 中子输运高精度LBM模型 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 中子输运方程 |
| 2.3 中子扩散方程高精度LBM模型 |
| 2.3.1 中子扩散方程 |
| 2.3.2 中子扩散方程高精度LB模型 |
| 2.3.3 中子扩散时空动力学LBM求解 |
| 2.4 NDLBM的数值模拟与分析 |
| 2.4.1 瞬态源驱动问题 |
| 2.4.2 NDLBM与传统方法的比较 |
| 2.4.3 Biblis-PWR堆芯问题 |
| 2.4.4 TWIGL堆芯动力学问题 |
| 2.5 中子输运SP_3方程高精度LB模型 |
| 2.5.1 中子输运SP_3方程 |
| 2.5.2 中子输运SP_3方程高精度LBM模型 |
| 2.6 SP3LBM的数值模拟及分析 |
| 2.6.1 单群中子输运问题 |
| 2.6.2 Zion堆芯问题 |
| 2.6.3 非均匀C5 堆芯问题 |
| 2.6.4 C5G7 堆芯问题 |
| 2.6.5 KAIST-3A堆芯问题 |
| 2.6.6 三维微型LWR问题 |
| 2.7 中子输运S_N方程有限差分LB模型 |
| 2.7.1 中子输运S_N方程 |
| 2.7.2 中子输运S_N方程LB模型 |
| 2.7.3 中子输运S_N方程有限差分LB模型 |
| 2.7.4 Chapman-Enskog多尺度分析 |
| 2.8 SNFDLBM的数值模拟与分析 |
| 2.8.1 Heaviside源问题 |
| 2.8.2 瞬态各向异性源问题 |
| 2.8.3 半无限介质Gauss源问题 |
| 2.8.4 二维无限介质Gauss源问题 |
| 2.9 本章小结 |
| 第3章 中子输运LB模型的非规则网格方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 基于SSAMR的中子输运LB模型 |
| 3.2.1 网格细化和合并 |
| 3.2.2 网格块边界处理 |
| 3.3 非结构网格中子输运LB模型 |
| 3.4 数值模拟与分析 |
| 3.4.1 多层中子屏蔽问题 |
| 3.4.2 Reed堆芯问题 |
| 3.4.3 均匀化堆芯源驱动问题 |
| 3.4.4 C5 MOX堆芯问题 |
| 3.4.5 含内部增殖栅元的六角形组件 |
| 3.4.6 非结构IAEA堆芯 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 中子输运LBM模型的大规模GPU并行加速方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 基于MPI的中子输运SP_3方程LB模型粗粒度并行 |
| 4.3 基于GPU集群的中子扩散动力学LB模型细粒度并行 |
| 4.3.1 GPU-NDLBM实现 |
| 4.3.2 多GPU集群设备的GPU-NDLBM实现 |
| 4.4 基于GPU集群的中子输运S_N方程LB模型细粒度并行 |
| 4.4.1 GPU-SNLBM实现整体构架 |
| 4.4.2 多GPU集群设备的GPU-SNLBM实现 |
| 4.5 数值验证结果 |
| 4.5.1 单群中子输运问题的MPI-SP3LBM加速 |
| 4.5.2 Biblis-PWR的 GPU-NDLBM并行加速 |
| 4.5.3 铁-水屏蔽问题的GPU-SNLBM并行加速 |
| 4.5.4 Reed堆芯GPU-SNLBM的 S并行模式与S-A并行模式对比 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 中子输运-传热-流动耦合LB框架 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 中子输运-传热-流动耦合过程统一LB框架 |
| 5.2.1 中子输运-传热耦合方程组 |
| 5.2.2 中子输运-传热-流动耦合方程组 |
| 5.2.3 中子输运-传热-流动统一LB框架 |
| 5.2.4 缓发中子先驱核LB模型 |
| 5.2.5 传热温度场LB模型 |
| 5.2.6 流动速度场LB模型 |
| 5.2.7 lbmNTH模块实现 |
| 5.3 数值分析结果 |
| 5.3.1 流动速度场LBM验证 |
| 5.3.2 板型燃料元件中子输运-传热分析 |
| 5.3.3 液体熔盐堆中子输运-传热-流动分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A Legendre展开多项式 |
| 附录B SP_7方程及其LB模型 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）分数阶扩散方程高阶数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义及性质 |
| 1.3 分数阶与分布阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.3.1 分数阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.3.2 分布阶扩散方程数值方法的研究现状 |
| 1.4 高阶方法和谱Galerkin方法简介 |
| 1.4.1 高阶方法 |
| 1.4.2 谱Galerkin方法 |
| 1.5 本文的主要研究内容 |
| 第2章 Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的Runge-Kutta方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 分数阶导数空间和加权空间 |
| 2.3 解的存在唯一性和正则性 |
| 2.4 RSFDE的空间半离散 |
| 2.4.1 谱Galerkin方法 |
| 2.4.2 空间半离散的误差估计 |
| 2.5 RSFDE的全离散 |
| 2.5.1 隐式Runge-Kutta方法 |
| 2.5.2 全离散格式的稳定性及收敛性分析 |
| 2.6 RSDODE的数值逼近 |
| 2.6.1 分布阶的离散 |
| 2.6.2 RSDODE的空间离散 |
| 2.6.3 RSDODE的全离散格式 |
| 2.7 数值实验 |
| 2.7.1 RSFDE的数值结果 |
| 2.7.2 RSDODE的数值结果 |
| 2.8 本章小结 |
| 第3章 Riesz型空间分数阶扩散方程的k-步BDF方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 RSFDE的数值格式 |
| 3.3 稳定性与收敛性分析 |
| 3.3.1 稳定性 |
| 3.3.2 收敛性 |
| 3.4 二维RSFDE的数值逼近 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.5.1 一维算例 |
| 3.5.2 二维算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 Riesz型空间分数阶扩散方程的一般线性方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 RSFDE的数值格式 |
| 4.3 稳定性与收敛性分析 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 多步Runge-Kutta方法和混合方法 |
| 4.4.2 数值结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 非线性Riesz型空间分数阶及分布阶扩散方程的Runge-Kutta方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 解的存在唯一性与正则性 |
| 5.3 2d-NRSFDE的数值格式 |
| 5.4 稳定性与收敛性分析 |
| 5.5 2d-NRSDODE的数值逼近 |
| 5.5.1 分布阶的离散 |
| 5.5.2 2d-NRSDODE的空间离散 |
| 5.5.3 2d-NRSDODE的全离散格式 |
| 5.6 数值实验 |
| 5.6.1 2d-NRSFDE的数值结果 |
| 5.6.2 2d-NRSDODE的数值结果 |
| 5.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 预备知识 |
| 1.1 分数阶微积分的历史及发展现状 |
| 1.2 分数阶微积分算子定义及其性质 |
| 1.3 特殊矩阵 |
| 第二章 一维时空分数阶对流方程的满足保界性质的有限差分方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维空间分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 2.2.1 一维空间分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 2.2.2 保界性质及误差分析 |
| 2.2.3 快速实现 |
| 2.3 一维时空分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 2.3.1 一维时空分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 2.3.2 保界性质及误差分析 |
| 2.3.3 时间快速估计方法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 收敛性与计算效果 |
| 2.4.2 异常扩散模拟 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 二维时空分数阶对流方程的满足保界性质的有限差分方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 二维空间分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 3.2.1 二维空间分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 3.2.2 保界性质及误差分析 |
| 3.2.3 快速实现 |
| 3.3 二维时空分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 3.3.1 二维时空分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 3.3.2 保界性质及误差分析 |
| 3.3.3 时间快速估计方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 收敛性与计算效果 |
| 3.4.2 异常扩散模拟 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 平面上时空分数阶方向导数偏微分方程的有限元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型问题及其有限元格式 |
| 4.2.1 模型问题 |
| 4.2.2 Galerkin有限元格式 |
| 4.3 稳定性分析及误差估计 |
| 4.4 有限元方法的快速实现 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 本文工作总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 参加科研项目情况 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（8）浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 绪论 |
| 1.1 背景研究 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 数值计算精度的研究进展 |
| 1.2.2 数值算法并行化的研究进展 |
| 1.2.3 三对角矩阵并行化的研究进展 |
| 1.2.4 MATLAB并行求解应用研究进展 |
| 1.3 发展趋势 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 2. 一维Dirchlet边界条件下浓度对流扩散方程高精度格式构造 |
| 2.1 一般内点差分格式 |
| 2.1.1 内点格式构造 |
| 2.1.2 内点格式稳定性分析 |
| 2.2 边界差分格式 |
| 2.2.1 始边界格式构造 |
| 2.2.2 始边界格式稳定性分析 |
| 2.2.3 末边界格式构造 |
| 2.2.4 末边界格式稳定性分析 |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 3. 浓度对流扩散方程高精度格式并行计算方法 |
| 3.1 并行计算方法推导 |
| 3.2 数值算例及并行效率分析 |
| 3.2.1 一维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.2.2 二维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于对流扩散方程并行计算中的MATLAB高效实现方法 |
| 4.1 影响并行计算效率的因素 |
| 4.2 提高并行计算效率的方法 |
| 4.2.1 减少数据通讯时间 |
| 4.2.2 混合编译优化 |
| 4.3 本章小结 |
| 5. 环境中的应用 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 数值模拟 |
| 6. 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 一维浓度对流扩散方程高精度格式的内点差分系数 |
| 附录B 一维浓度对流扩散方程高精度格式的始边界差分系数 |
| 附录C 一维浓度对流扩散方程高精度格式的末边界差分系数 |
| 附录D 二维浓度对流扩散方程高精度格式的解 |
| 致谢 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间的科研成果 |
（9）求解对流扩散方程的一种边界型方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 对流扩散方程的数值方法研究成果及进展 |
| 1.2.1 有限差分法 |
| 1.2.2 有限元法 |
| 1.2.3 有限体积法 |
| 1.2.4 边界元法 |
| 1.2.5 其他数值计算方法 |
| 1.3 非线性对流扩散方程的数值方法部分研究成果及进展 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 求解稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.3 二维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.4 一维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5 二维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5.1 考虑第一类边界条件的无源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.2 包含不连续参数的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.3 含源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.4 考虑第一类、第二类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.5 考虑第一类、第三类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 求解非稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.3 二维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.4 一维非稳态对流扩散方程数值实验 |
| 3.4.1 考虑第一类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.2 考虑第一类、第三类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.3 包含分段源项及第二类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5 二维非稳态对流扩散方程计算 |
| 3.5.1 考虑第一类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.2 含源项的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.3 含连续变化参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.4 含间断参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.5 考虑第一类、第二类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 求解非线性对流扩散方程的半边界法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值方法 |
| 4.2.1 一维稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.2.2 一维非稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.3 数值实验及应用 |
| 4.3.1 一维稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.2 一维非稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.3 考虑材料非线性的对流扩散方程计算 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 半边界法在非矩形求解域问题中的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非矩形求解域的边界条件处理方式 |
| 5.3 三角形平板导热问题 |
| 5.4 扇形平板导热问题 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 文献综述 |
| 1.2 本文创新 |
| 第二章 位势理论与界面问题 |
| 2.1 位势理论 |
| 2.2 界面问题 |
| 2.2.1 求解二维空间中界面问题的四阶精度有限差分方法 |
| 2.2.2 求解三维空间中界面问题的四阶精度有限差分方法 |
| 第三章 求解二维空间椭圆型方程的四阶KFBI方法 |
| 3.1 修正的Helmholtz方程 |
| 3.1.1 边值问题 |
| 3.1.2 边界积分方法 |
| 3.1.3 数值算例 |
| 3.2 双调和方程 |
| 3.2.1 边值问题 |
| 3.2.2 边界积分方法 |
| 3.2.3 数值算例 |
| 第四章 求解三维空间椭圆型方程的四阶KFBI方法 |
| 4.1 边值问题 |
| 4.2 边界积分方法 |
| 4.3 数值算例 |
| 第五章 四阶KFBI方法在实际问题中的应用 |
| 5.1 Stokes及 Navier-Stokes方程 |
| 5.1.1 不可压流体力学方程的流函数-涡量表述 |
| 5.1.2 时间离散 |
| 5.1.3 空间离散 |
| 5.1.4 数值算例 |
| 5.2 声波多体散射问题 |
| 5.2.1 边界积分方法 |
| 5.2.2 数值算例 |
| 第六章 KFBI方法与定制有限点方法结合 |
| 6.1 时间离散 |
| 6.2 空间离散 |
| 6.2.1 边界积分方法 |
| 6.2.2 定制有限点方法求解界面问题 |
| 6.3 数值算例 |
| 全文总结 |
| 附录A 二维空间跳跃的计算 |
| A.1 二维空间偏导数跳跃的计算 |
| A.2 二维空间修正的Bessel展开式系数跳跃的计算 |
| 附录B 三维空间跳跃的计算 |
| B.1 跳跃计算公式 |
| B.2 对坐标分量求导 |
| B.3 对法向导数分量求导 |
| 附录C 基于指数函数的定制有限点方法 |
| C.1 定制有限点离散格式 |
| C.2 定制有限点格式修正 |
| C.3 定制有限点空间差值 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的项目 |
四、一种求解二维扩散方程的分块隐式方法（论文参考文献）
- [1]几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法[D]. 单秀杰. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [2]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [3]致密油藏压敏效应及基质裂缝间窜流规律研究[D]. 刘凯. 东北石油大学, 2021(02)
- [4]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [5]中子输运与传热流动耦合的格子Boltzmann数值建模[D]. 王亚辉. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [6]分数阶扩散方程高阶数值方法研究[D]. 张艳明. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [7]时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法[D]. 高静. 山东大学, 2020(08)
- [8]浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用[D]. 谢悦. 大连海事大学, 2020(01)
- [9]求解对流扩散方程的一种边界型方法研究[D]. 赵媛媛. 华北电力大学(北京), 2020(06)
- [10]求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用[D]. 谢雅宁. 上海交通大学, 2020(01)