一、Compacton,Peakon,and Foldon Structures in the (2+1)-Dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov Equation（论文文献综述）
崔超杰[1]（2021）在《多线性分离变量法在3+1维非线性系统中的应用》文中研究表明为了更好地理解自然界中各种复杂的非线性物理现象,非线性系统进入了科学家的视野,非线性系统的求解是非线性科学的一个重要研究内容。人们已经从不同角度出发,建立了不少求解非线性系统的方法。多线性分离变量法（MLVSA）是其中一种非常有效的求解方法,它在低维系统的求解中发挥了很大作用,但是在高维情况下的应用较少。因此,本文主要借助符号计算软件平台Maple和Mathematica,研究MLVSA在3+1维非线性系统中的应用。本文首先用MLVSA方法求解了3+1维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli（BLMP）方程和一个3+1维非线性演化方程,得到了具有任意背景波的多线性分离变量解。其次给出了多线性分离变量解中任意函数的特殊表示,构造出了N×M格子孤波,在格子上激发了dromion、lump和环孤子,调整参数绘制出了这些格子孤波的动态演化过程,归纳总结出了它们的动力学规律。最近,孤子分子的实验发现引起了大家的极大关注。孤子分子是孤子的一种共振态,速度共振是绑定两个或多个孤子形成孤子分子的重要机制。文中通过调整格子孤波中的孤子的任意参数,使其满足速度共振机制,构造出了多种孤子分子,包括对称和非对称dromion孤子分子、对称和非对称lump孤子分子、对称和非对称环孤子分子。利用计算机软件平台Mathematica绘制了它们的三维图像,详细讨论了孤子和孤子分子以及孤子分子之间的相互作用的动力学行为和特点。最后,把多线性分离变量法求解3+1维非线性系统的过程进行了算法程序化。对BLMP方程完成了名为MULTILINEAR的程序包,以此为例,讨论了MULTILINEAR程序包的调用方式。通过函数调用可以输入不同参数矩阵,绘制出多种非线性局域激发的三维形态及其相互作用,为研究它们的动力学行为提供了便利。
刘建国[2]（2021）在《非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究》文中研究指明非线性偏微分方程可以被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题,是现代数学的一个重要分支。本文主要利用Hirota双线性方法、（G’/G）-展开法、变系数齐次平衡法、三波法和符号计算方法研究非线性偏微分方程的精确解以及动力学性质,包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要内容和安排如下:第一章主要介绍了非线性偏微分精确解的一些重要分类,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介绍了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota双线性方法、Bell多项式和Backlund变换。第二章首先介绍了 lump解的求解方法和步骤。随后利用这个方法获得了（3+1）维孤子方程的lump解,分别讨论了 lump解和孤子之间的交互作用以及lump解和周期解之间的交互作用。获得了（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,讨论了 lump解与孤子解之间的交互作用。随后对lump解的求解方法进行了修正,使之适合求解变系数非线性偏微分方程,这个工作尚未在其他文献中讨论。利用修正后的求解方法获得了（3+1）维广义变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并对其动力学性质进行了分析。列出了（2+1）维变系数KP方程的lump解,并讨论了 lump解与单孤子、双孤子之间的交互作用。第三章研究了一个（2+1）维破裂孤子方程,该方程描述了沿y轴传播的Riemann波与长波的（2+1）维相互作用。利用一个特殊的ansatz函数和Hirota双线性形式,获得了（2+1）维破裂孤子方程的一些全新的双周期孤子解,并通过大量的三维图形展示了解的动力学性质。第四章研究 了一个（3+1）维 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,该方程在流体和等离子体动力学有重要的应用。沿x轴传播的长波可以被视为不可压缩流体的模型。基于（G’/G）-展开法和符号计算,得到了（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程丰富的双曲函数和三角函数形式的精确解。通过一些图形显示了特定的局部激发和两个孤立波之间的相互作用。第五章研究了一个（3+1）维广义浅水波方程,该方程在天气模拟、潮汐波、河流和灌溉水流、海啸预报等方面有着广泛的应用。基于扩展的变系数齐次平衡法和两个新的ansatz函数,构造了（3+1）维广义浅水波方程的自Backlund变换、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭结波,周期双孤波和两个孤立波的呼吸类型解。此外还有交叉扭结三孤子和交叉扭结四孤子解并讨论了所得解的传播特性和相互作用。第六章通过三波法研究了新的（3+1）维广义KP方程、（2+1）维Ito方程以及新的（2+1）维Korteweg-de Vries方程的精确解。并在三波法的基础上进行了推广使之能够应用到变系数非线性偏微分方程。以（3+1）维广义变系数浅水波方程为例,获得大量新的精确解。第七章提出了一种改进的符号计算方法。通过使用改进的符号计算方法,获得了广义（2+1）维Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解。这些获得的多怪波解的动力学特征以三维图形和等高线图进行了展示。与原始符号计算方法相比,我们的方法不需要找到非线性系统的Hirota双线性形式。第八章对本文的主要内容和创新工作进行了总结,展望了未来的研究方向。
朱文静[3]（2018）在《非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究》文中指出本论文以动力系统方法为研究工具,以源于实际物理问题的非线性浅水波方程为研究对象,研究了这些非线性数学物理方程的分支问题与精确解,揭示了这些非线性模型蕴涵的丰富的动力学性质.本论文共分七章.第一章是绪论,我们综述了非线性浅水波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的结果,介绍了李继彬教授提出的研究奇非线性波方程的动力系统方法—“三步法”.第二章我们用动力系统方法研究了 Dullin-Gottwald-Holm方程的精确解及其动力学行为.在不同的参数条件下,我们讨论了所有行波解的分类并给出其精确解的显式参数表达式.为了比较奇异行波系统和相应正则系统解的动力学行为,我们也给出了正则系统的精确解的显式参数表达式.其次,我们以Dullin-Gottwald-Holm方程为例,详细介绍了非线性系统行波解的相关概念,纠正近十年中我们观察到的一些错误.通过第二章的研究我们知道,周期尖波解和伪孤立尖波解是“两尺度”的光滑经典解,他们在峰值点处是局部光滑的.第三章我们用动力系统方法研究了中度振幅浅水方程的行波解及其动力学行为.通过分析行波系统在不同参数条件下的相图,获得了光滑孤立波解、周期波解和周期尖波解的显式参数表达式.同时,我们还证明了破缺波解的存在性.第四章基于动力系统方法,我们研究Burgers-αβ方程的有界行波解的存在性和动力学行为.我们可以把Burgers-αβ方程看作是一个非线性浅水波动力学模型.首先通过变换化简Burgers-αβ方程.再利用动力系统的方法,我们得到了不同参数条件下相应的行波系统的相图分支.对应于一些特殊的水平曲线,得出Burgers-αβ方程在不同参数条件下所有可能存在的精确解,如:周期波解、孤立尖波解、周期尖波解、孤立波解和破缺波解,从而了解系统相应的流体力学性质.第五章我们研究了 Biswas-Milovic方程.令F（|q|2）= α|q|4+β|q|2 通过行波变换,我们得到了 Biswas-Milovic方程的行波系统.利用动力系统方法,我们获得了 Biswas-Milovic方程的行波系统在不同参数条件下的相图分支.对应于一些特殊的曲线,我们求出了精确解的显式参数表达式.这些解有光滑孤立波解、孤立尖波解、扭波解、反扭波解、周期波解、周期尖波解和破缺波解.第六章我们用动力系统方法研究了两类非线性波方程.这两类非线性波方程对应的行波系统是着名的Lienard系统.首先,我们介绍了 Chiellini可积条件,并且求出了 Lienard系统在Chiellini可积条件下的首次积分.然后,我们讨论了广义阻尼sine-Gordon方程和单边势相互作用下的Burgers方程的动力学行为以及行波系统的精确解.同时,对于单边势相互作用下的Burgers方程,我们还讨论了它的全局单调扭波解和非单调扭波解的存在性.在一些特殊的参数条件下,我们还求出了单调扭波解和非单调扭波解的显式参数表达式.最后一章我们对本文的研究结果进行了总结,并提出需要进一步研究的问题.
刘威[4]（2017）在《试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究》文中研究说明在应用数学中广泛使用的求解方法,如待定系数法、常数变易法和欧拉待定指数函数法等方法都是具有“试探”性质的求解方法[1],具有此性质的求解方法被称为试探函数法。非线性发展方程求解法中的齐次平衡法[2]、双曲正切函数展开法[3]、Jacobi椭圆函数展开法[4],[5]和辅助方程法[6]～[9]等方法,都是具有构造性和机械化性两大特点的试探函数法[1]。试探函数法在非线性发展方程求解方面已有大量的应用[1],[10]～[26]。本文改进了双曲正切函数展开法,并借助符号计算系统Mathematica,构造了色散长波方程、变形色散水波方程和（2+1）维耗散长波方程的多孤子解。改进了辅助方程法,给出函数变换与辅助方程相结合的方法,构造了（2+1）维势Burgers系统、（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov 系统、（3+1）维 Jimbo-Miwa 方程和（3+1）维破碎孤子方程等非线性发展方程的复合型新解。探求高维可积系统的局域激发也是孤立子理论研究中重要而又艰巨的任务之一[27]。已知的激发模式有peakon解、compacton解和隐形孤子及其碰撞特性、孤立子的裂变聚变现象、混沌孤子激发、分形孤子激发模式、折叠孤立波和折叠子等。本文借助符号计算系统Mathematica,对得到的非线性发展方程的复合型新解进行数值模拟,以探求非线性发展方程的局域激发模式及特殊结构。第一章简要介绍了孤子理论的历史和发展。概括非线性发展方程的几种求解方法和本文的主要工作。第二章中基于文献[28],[29]里的双曲正切函数展开法,给出了一种改进的双曲正切函数展开法,借助符号计算系统Mathematica,获得了色散长波方程、变形色散水波方程和（2+1）维耗散长波方程的一般项为三角函数与双曲函数的和乘以指数函数的级数型多孤子新解,并分析了解的性质。第三章中基于文献[30],[31]获得的成果,给出函数变换与辅助方程相结合的方法,获得了几种非线性发展方程的复合型新解,并通过符号计算系统Mathematica对得到的复合型新解进行数值模拟,借此分析了复合型新解的性质。1.给出函数变换与Riccati方程相结合的方法,借助Riccati方程的已知解及其相关结论,得到了（2+1）维势Burgers系统的由有理函数与指数函数、三角函数、双曲函数和反双曲函数组合的无穷序列复合型新解。2.给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,运用第二种椭圆方程的已知解及其相关结论,构造了（2+1）维非对Nizhnik-Novikov-Veselov系统的由Riemann θ函数、Jacobi椭圆函数和三角函数分别与双曲函数组合的无穷序列复合型新解,及双孤子解与双周期解。3.基于Painleve分析,给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,由此构造了一种（3+1）维非线性发展方程的无穷序列复合型新解。第四章中给出了非线性发展方程精确解的两种求解方法,获得了（3+1）维Jimbo-Miwa方程和（3+1）维破碎孤子方程的复合型新解。通过符号计算系统Mathematica对得到的复合型新解进行数值模拟,并以此来分析复合型新解的性质。1.给出函数变换与第二种椭圆方程相结合的方法,函数变换中含有两个分别以z和t为变量的任意函数。运用此方法得到了（3+1）维Jimbo-Miwa方程的无穷序列复合型新解,新解含有以z和t为变量的任意函数。2.改进文献[32],[33]给出的形式解,构造了（3+1）维破碎孤子方程的由三角函数、指数函数和双曲函数组合的九种复合型新解,并分析了解的性质。第五章中概括了本文的主要工作和未来要进行的科研工作。
王传坚[5]（2017）在《几类非线性波动方程的可积性及孤立波解的谱稳定性研究》文中研究表明非线性波广泛存在于自然界中,比如:水波、气体中的激波、等离子波、固体中的冲击波、星系中的密度波和地震波等。非线性波动方程是描述自然界中各种波动现象的重要数学物理模型,研究非线性波动方程的可积性、求解以及解的动力学行为,有助于人们揭示非线性波的传播规律,科学解释对应的自然现象,进一步推动非线性波理论的发展。本文研究在流体力学、等离子体物理和非线性光学中有重要应用的BKP方程、（2+1）维KdV方程、KP型系统和Sharma-Tasso-Olver方程的可积性、孤立波解及其动力学行为。主要研究内容和结果如下:1.基于双Bell多项式理论和Hirota双线性方法,研究BKP方程的双线性形式和孤立波解。通过引入微分约束条件和解耦技巧,得到了 BKP方程的几类Hirota双线性形式、Bell多项式型Backlund变换和Lax对;进而运用所得Hirota双线性形式得到了其多波解、Complexiton-解、亮-暗块状波解以及扭结-块状波相互作用解,并进一步研究其Complexiton-解和亮-暗块状波解之间的关系,发现亮-暗块状波解是Complexiton-解的极限,而Complexiton-解的解析式可由三角函数csc2（πx）的幂级数导出。此外,还通过Bell多项式型Lax对构造出BKP方程的守恒律。2.运用广义对称法,得到了 BKP方程的对称、KMV型李代数和守恒律。基于BKP方程的对称结构直接构造了 BKP方程的广义群不变解,运用广义群不变解,导出了 BKP方程的连续对称群和离散对称群。运用Painleve截断展开法,获得了 BKP方程的非自Backlund变换和非局部对称。3.基于Hirota双线性方法,研究实（2+1）维KdV方程和复KP型系统的块状波解。通过数值模拟研究发现,两类系统的块状波解都会产生时空偏转现象,而且在不同的参数条件下,块状波解会呈现出三类不同的时空结构。理论分析表明,平衡点分岔是导致块状波解时空偏转现象产生的原因之一。4.基于平面动力系统方法和Hirota双线性方法,研究了 STO方程扭结波解的存在性。运用能量估计方法,证明了其扭结波解是谱稳定的。通过拓展的同宿测试函数法得到了 STO方程的另一类扭结波相互作用解,数值模拟研究和理论分析表明,这类扭结波解聚变和裂变现象的产生并不依赖于色散系数α,而由图像平移参数（?）决定。α的符号决定着孤立波的传播方向:当α<0时,孤立波向左传播;当α>0时,孤立波向右传播。
刘煜,刘伟庆[6]（2013）在《非线性波动方程最简形式尖峰孤子解的存在性及求解方法》文中指出以经典的Camassa-Holm方程为例,讨论非线性波动方程存在最简形式尖峰孤子解的必要和充分条件,归纳出求取该型解的一般性方法,并通过求解Oliver水波方程、广义KdV方程K（2,2,1）和（2+1）维Nizhnik-Novikov-Veselov方程对该方法做验证,验证表明该方法是简便、有效的.运用该方法分析判断和求解了多个非线性波动方程,结果表明存在该型解的非线性波动方程为数不少.该方法也可用于2类紧孤子解存在性的分析和求解.
蔡九鲜[7]（2012）在《变系数非线性演化方程孤子解的研究》文中提出非线性演化方程是基于在物理、通信等科学领域出现的非线性问题而建立的一种数学模型。探究非线性演化方程的解及其性质,对非线性科学的发展意义重大。由于变系数比常系数更能反映非线性实际问题的相互作用机制,所以对变系数非线性演化方程的研究是非线性科学研究的重点。但是变系数的存在使得对非线性问题的研究更加困难。在研究非线性演化方程的过程中,人们发现了孤子形式的解,一种具有弹性碰撞性质的解。孤子因其在光纤通信、流体力学等研究领域上的广泛应用而备受关注。从而寻找非线性演化方程的孤波形式的局域激发模式也是目前的一个研究热点。本文以寻找变系数非线性演化方程的孤子解为目的,从研究变系数非线性演化方程的可积性出发,在可积的基础上,利用推广的Hirota方法和非线性分离变量法研究变系数非线性演化方程的线性多孤子解和局域激发模式的解。文章第一部分,首先介绍了非线性演化方程和孤子理论的发展进程,接着阐述了孤子理论的研究方法,且重点介绍了Painleve分析法、Hirota方法和非线性分离变量法。文章第二部分,研究变系数（2+1）维破裂孤立子方程的精确多孤子解。首先用Painleve分析法检验变系数（2+1）维破裂孤立子方程的可积性,得出方程的双线性变换；接着利用Hirota方法,求得方程的N-孤子的精确解表达式；最后利用计算机仿真模拟单孤子、双孤子及三孤子的图像,通过图像来直观的感受变系数（2+1）维破裂孤立子方程的孤子解的发展演化过程。文章第三部分,研究耦合变系数（2+1）维破裂孤立子方程的变量分离形式的解及局域激发模式。首先利用Painleve分析法研究耦合方程的可积性,得出可积条件；接着利用可积条件求得耦合方程的变量分离形式的解；最后利用得到的变量分离解中低维函数的任意性,模拟了四种局域激发模式。文章第四部分,总结前文的研究成果,指出本文的创新点及难点：第一,利用Painleve分析法求得了耦合、高维变系数非线性演化方程的可积条件；第二,本文在张解放和郭冠平对Hirota方法进行推广,求得常系数（2+1）维破裂孤子方程的多孤子解的基础上,利用变系数（2+1）维破裂孤立子方程的可积条件,求得了变系数（2+1）维破裂孤立子方程的多孤子解；第三,同样在可积的条件下,利用非线性分离变量法求得了变系数高维非线性演化方程的变量分离形式的解,同时利用求得的变量分离解中低维函数的任意性,得到了耦合变系数（2+1）维破裂孤立子方程的丰富的局域激发模式。最后展望了非线性演化方程的研究前景。
陈爱永[8]（2012）在《基于动力系统理论的非线性波的定性研究》文中研究说明非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文从动力系统理论的角度来研究非线性波方程行波解的定性行为。首先,利用动力系统分支理论方法寻找非线性微分方程的精确解,获得了一系列新的结果。其次,以动力系统理论为研究工具,研究了几类源于实际物理问题的非线性波方程的行波解的定性行为,揭示了这些非线性模型中蕴涵的丰富的动力学性质。此外,我们研究了Schrodinger方程周期波解的轨道稳定性和具有色散项Korteweg-de Vries方程的非一致连续性。本文主要研究工作如下：第一章是绪言,综述了非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的成果,介绍了近年来非光滑波的发现、相应的研究方法及其最新研究进展,指出了非线性波方程与动力系统之间的联系以及运用动力系统相关理论研究非线性波方程的现状。本章最后介绍了李继彬教授提出的研究非线性波方程的“三步法”的主要理论和结果以及其它预备知识。第二章利用微分方程定性理论,研究了具有渗流项的K（2,2）方程,获得了方程在非齐次边界条件下的peakons,cuspons和光滑孤立波解。通过使用相图分析技术,给出了peakons,cuspons和光滑孤立波解存在的参数条件,并分析了peakons, cuspons和光滑孤立波解的渐近行为。此外,我们也研究了Fornberg-Whitham方程在非齐次边界条件下的单峰孤立波解,通过使用相图分析技术,给出了Fornberg-Whitham方程peakons,cuspons和光滑孤立波解存在的参数条件,获得了所有peakons,cuspons和光滑孤立波解井分析了它们的解析和动力行为。第三章研究了φ6模型周期波解的周期与能量之间的联系。利用微分方程定性理论,给出了系统拥有周期轨道的拓扑相图。对周期波解,分析了相应周期函数的凸性、单调性和临界点的个数等解析性质,证明了在一定条件下,周期函数有唯一临界周期。通过数值模拟,验证了理论分析结果的正确性。第四章研究了非线性Schrodinger方程周期波解的存在性和轨道稳定性。首先利用动力系统理论研究了周期波解的存在性,然后研究了周期波解的轨道稳定性。研究方法基于Angulo发展的研究周期特征值问题的理论。我们通过利用常微分方程定性理论,证明了周期波解轨道稳定性的一个关键条件。该证明方法不依赖于第一类和第二类完全椭圆积分,从而改进了之前的研究方法。第五章利用微分方程定性理论,研究了一个具有非线性色散项的Korteweg-de Vries方程。首先获得了方程光滑周期波解存在的参数条件。其次,利用Himonas与Misiolek的理论,证明了方程的解映射不是一致连续的。第六章对本文的工作进行了总结,提出了有待进一步研究的问题。
套格图桑[9]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中提出1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
刘汉泽[10]（2009）在《基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究》文中指出偏微分方程又称数学物理方程,它来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出并建立的数学模型。早期的偏微分方程有根据牛顿引力理论推导出的描述引力势的拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程,还有描述波的传播的波动方程（wave equation）,描述传热和扩散现象的热传导方程（heat equation）等,这些都是古典的偏微分方程。这些方程在偏微分方程理论的发展中发挥了重要的作用,时至今日,它们仍然是偏微分方程的基础和必学内容之一。自19世纪开始,随着工业革命的兴起和科学技术的发展,相继出现了大量新的偏微分方程,其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程（组）,描述微观粒子的薛定谔方程,以及爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程、反应扩散方程等等。随着现代科学和技术的进步,还将会不断涌现出新的越来越多的偏微分方程,尤其是非线性的偏微分方程或方程组。其中,非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文以李（S.Lie）对称分析为基础和工具,综合运用动力系统的分支理论与方法、潘勒维尔（Painleve）分析、幂级数法（含推广的幂级数法）、待定系数法以及一些特殊的技巧与方法,研究偏微分方程的精确解及其相关的方程与解的性质。具体而言,即首先运用李对称分析得到方程的向量场或对称,然后利用相似约化将所研究的（非线性）偏微分方程化为常微分方程。这一步对方程而言可以说实现了实质性的转化,即把一个复杂的偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接下来的工作就是研究这个常微分方程的解,求出了常微分方程的解,也就相应地得到了偏微分方程的解。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的基本思路。当然,对称分析的作用远不止此,它与系统的可积性的研究还有着密切的关系,对称是系统本质属性的一种描述和刻画,它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。这些我们将在研究偏微分方程精确解的同时一并加以介绍。至于如何研究约化得到的常微分方程,则主要涉及常微分方程与动力系统的理论与方法、幂级数法以及一些特殊的技巧与方法。本文的主要内容如下：第一章绪论。本章介绍了非线性科学的主要内容以及发展现状,综述了偏微分方程,尤其是非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的主要成果。其中重点介绍了偏微分方程研究的主要方法,特别是对称分析在研究偏微分方程中的意义与作用。概括而言,这些方法各有特点,也都有各自的适用范围,都在特定的时期、特定的条件和各自的范围内发挥了应有的作用。有的方法可以说长盛不衰,历久弥新,至今还有强大的生命力,在偏微分方程的研究中仍然发挥着重要的作用。当然,任何一种方法都不是万能的,不会也不可能指望用一种方法解决所有的问题。本章的出发点是对各种主要的方法加以总结回顾,目的不是评判哪种方法的优劣,而是通过比较和总结,更好地继承和发扬其中蕴含的优秀的思想方法,从过去经典的思想与方法中汲取营养,更好地面向未来,进一步更深入地开展对现代偏微分方程及相关非线性科学的研究。第二章理论准备。在这一章,列举了本文所涉及的一些相关知识,如李群与李代数、对称与向量场、向量场的延拓、Painleve分析简介、动力系统的分支理论与方法以及雅可比（Jacobi）椭圆函数等。限于篇幅,有些内容只列出主要概念与结论,详细内容可查阅后面的相关参考文献,此处不展开叙述。单列本章的目的是考虑到李群与对称分析的相关理论与知识比较多,通过本章,对有关的理论知识有所了解,便于后面的具体运用。第三章基于李对称分析,研究了一般的Burgers’方程。该方程是一个既有非线性项又有二阶偏导项的非线性波方程,在理论和实践中有广泛的应用价值。它在一定条件下存在不同类型的孤波解,如冲击（震荡）波、稀疏波等。在流体力学、空气动力学的许多波动问题的研究中都要用到这个方程。例如在流体力学模型方程中,有线性Burgers’方程ut+aux=μuxx和非线性Burgers’方程ut+[f（u）]x=μuxx。当f（u）=1/2u2时,后者即为ut+uux=μuxx。在一定的初、边值条件下,可以得到这两类Burgers’方程的精确解,从而了解系统相应的流体力学性质。另外,Burgers’方程和许多重要的数学物理方程有着密切的联系,在非线性科学、流体力学以及工程技术中起着重要的基础性作用。在对称分析的基础上,首先求出了方程的群不变解以及任意次的迭代解。然后,利用对称约化将原方程化为各种形式的常微分方程,进而求出方程的精确解。其中应用了幂级数法（Power series method）,得到了非线性、非自治的常微分方程严格的幂级数解,从而也就得到了相应的Burgers’方程的精确解,其中包含了不少新的显式精确解。第四章研究推广的mKdV方程,众所周知,KdV方程是非常着名的浅水波方程,它起源于对水波问题的研究,KdV型方程可以描述各种浅水波的运动,在流体力学中有着广泛的应用。特别地,对于修正的KdV型方程,最近的研究发现可用于描述宇宙环境中超新星周围以及土星环的尘埃离子的波动规律,对于天体力学和大气物理的研究有着重要的意义。首先,通过对称分析得到了它的向量场。然后,由一般到特殊地得到了一些特殊而经典的KdV、mKdV方程的向量场。接下来,通过对称约化将推广的mKdV方程化为常微分方程,为下一步求解作准备。本章的一个亮点是运用了动力系统的分支理论与方法,详细全面地得到了推广的mKdV方程的显式精确解,包括幂级数解,同时还研究了系统的动力学性质。第五章研究了一类短脉冲方程的精确解。短脉冲方程也是一类非常重要的非线性波方程,可以描述一些比较特殊的波。深入研究这类方程及其各种孤波解,对于了解一些特殊的波动问题具有重要意义。同时,该方程是一个重要的非线性数学物理方程,它在工程技术以及物理学、力学的许多领域都有重要应用。此方程不同于一般的非线性演化型方程,而是一个混合型的偏微分方程,这给对称分析带来了一定的困难。本章分别运用延拓法与待定系数法,得到了该方程的所有对称。其次,本章的另一特色是在运用动力系统的分支理论与方法研究方程的精确解时,引入了参数表示法,从而圆满地解决了解的显式表示问题。本章获得的这类短脉冲方程的精确解,都是用通常的方法难以得到的。第六章研究了一类变系数债券方程。变系数偏微分方程最初主要来源于数学物理问题及大量的工程技术问题,但是,随着社会的进步和现代科学技术的不断发展,在各种经济社会领域、生物化学与环保领域、通讯信息与金融证券等领域,由于实际的需要也提出了越来越多的偏微分方程,这些方程一般形式复杂,且常常是变系数的。本章研究的变系数方程在金融数学与金融工程中经常用到,尤其是在期权定价问题的研究中,这类偏微分方程发挥着日益重要的作用。偏微分方程理论与现代经济、金融研究相结合,正成为一种重要的发展趋势。首先,对两个具体的变系数债券方程进行了对称分析,分别得出了它们的向量场。然后,又分别求出了它们的单参数群与群不变解。第三,利用相似变换分别将它们约化为常微分方程。第四,进一步求出它们的精确解。本章在内容上与前几章的主要不同之处在于,一是对称分析,由于所研究的方程是变系数的,因此,对称分析要比常系数方程复杂得多。二是在求精确解时除了幂级数法之外,还用了待定系数法等一些特殊方法,从而得到了方程的显式精确解,收到了较好的效果。三是在本章最后,我们还就一般形式的变系数债券方程进行了讨论,得出了它的对称及相应的精确解。第七章研究了三个非线性演化方程。这类方程在非线性科学与工程技术中有着重要的意义与作用,是许多波动问题和力学问题的重要理论模型,在生物数学等领域也有着重要的应用。首先运用Painleve分析得到了它们的Painleve性质,以及相应的Backlund变换、截断展开式等。然后再通过对称分析,分别得到了它们的对称,并通过比较分析了Painleve分析与对称分析的异同。接着研究它们的精确解,除了基于对称分析的精确解,我们还得到了方程的基于Painleve截断展开的精确解。这些解的获得,是单独用任何一种方法所不可能得到的,这也说明了二者结合的意义和作用。另外,通过本章的研究可以发现,对于有些即使是不可积的方程,我们仍然可以利用对称分析与Painleve分析研究它们的精确解。我们知道,在可积系统的研究中,Painleve分析的主要作用是判断系统的可积性,但通过本章可以发现它还可以用于方程求解的研究。对称分析更是如此,无论是否可积,都可以通过对称分析研究方程的精确解。总之,本文研究的对象是偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的方程。主要目的是求出方程的解,尤其是显式的精确解。所以,本文所采用的方法与工具与一般孤子与可积系统的研究有所不同,结果也不一样,可以说各有侧重。限于论文的主题,尽管系统的对称与可积性如守恒律（CL）、Backlund变换等有着密切的联系,但对系统的可积性不作过多的讨论,目的是使论文主题更突出。另外,这些方程都是重要的数学物理方程,深入研究这些方程的解及其相关性质,如Painleve性质、可积性以及各种形式的解,尤其是各种显式精确解,对于了解系统所描述的具体问题的性质与规律,有着重要的意义与作用。最后,在总结与展望中,首先概述了本文所获得的主要研究成果；然后,总结归纳了本文的主要创新点；最后,提出了围绕偏微分方程精确解的研究有待于进一步研究与思考的方向和问题。
二、Compacton,Peakon,and Foldon Structures in the (2+1)-Dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov Equation（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Compacton,Peakon,and Foldon Structures in the (2+1)-Dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov Equation（论文提纲范文）
（1）多线性分离变量法在3+1维非线性系统中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性系统的研究概况 |
| 1.2 多线性分离变量法 |
| 1.3 局域激发和孤子分子 |
| 1.4 符号计算 |
| 1.5 研究目标和内容 |
| 1.6 论文组织结构 |
| 第二章 3+1维非线性系统的多线性分离变量解 |
| 2.1 多线性分离变量法的求解过程 |
| 2.2 3+1维BLMP方程 |
| 2.3 一个3+1维非线性演化方程 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 3+1维非线性系统中的局域激发及其相互作用 |
| 3.1 dromion解 |
| 3.2 X型孤子解 |
| 3.3 lump解 |
| 3.4 环孤子解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 3+1维非线性系统中的孤子分子及其相互作用 |
| 4.1 dromion孤子分子 |
| 4.2 lump孤子分子 |
| 4.3 环孤子分子 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 多线性分离变量法的程序实现 |
| 5.1 算法流程 |
| 5.2 程序调用及应用实例 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 附录:程序包MULTILINEAR代码 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表论文和参与科研情况 |
（2）非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几类特殊的精确解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 Bell多项式 |
| 1.2.3 Backlund变换 |
| 1.3 论文的主要内容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)维孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之间的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之间的交互作用 |
| 2.3 (2+1)维非对称NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)维广义变系数KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 动力学行为分析 |
| 2.6 (2+1)维变系数KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和单孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和双孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)维破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期解 |
| 第四章 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 4.1 (3+1)维BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 第五章 浅水波方程的自Backlund变换和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)维广义浅水波方程 |
| 5.2 自Backlund变换 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程与变系数浅水波方程的精确解 |
| 6.1 新(3+1)维广义KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)维Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)维KdV方程的精确解 |
| 6.4 (3+1)维广义变系数浅水波方程精确解及动力学性质 |
| 6.4.1 精确解 |
| 6.4.2 动力学行为分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 针对常系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 针对变系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（3）非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立波与孤立子 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.2.1 B(?)cklund变换法和Darboux变换法 |
| 1.2.2 反散射方法 |
| 1.2.3 分离变量法 |
| 1.2.4 其他方法简介 |
| 1.3 研究奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 1.4 非线性浅水波方程简介 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 Dullin-Gottwald-Holm方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 系统(2.4)_±的相图分支 |
| 2.3 系统(2.4)_+所有行波解的分类以及系统(2.4)_+和(2.6)_+精确解的参数表达式 |
| 2.3.1 系统(2.4)_+的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 2.3.2 系统(2.4)_+的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 2.3.3 系统(2.4)_+的孤立尖波解 |
| 2.3.4 系统(2.4)_+的破缺波解和有界解 |
| 2.4 系统(2.4)_-所有行波解的分类以及系统(2.4)_-和(2.6)_-精确解的参数表达式 |
| 2.4.1 系统(2.4)_-的光滑孤立波解 |
| 2.4.2 系统(2.4)_-的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 2.4.3 系统(2.4)_-的破缺波解 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 中度振幅浅水方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.4)的相图分支 |
| 3.3 系统(3.4)的行波解 |
| 3.3.2 c=-1时,系统(3.4)的行波解 |
| 3.3.4 c=c~*时,系统(3.4)的行波解 |
| 1时,系统(3.4)的行波解'>3.3.5 c>1时,系统(3.4)的行波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 Burgers-αβ方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.6)的相图分支 |
| 4.3 当β≥0时,系统(4.6)的精确行波解 |
| 4.4 当β=-1/3时,系统(4.6)的精确行波解 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 Biswas-Milovic方程的精确行波解和分支问题研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.6)的相图分支 |
| 0时,系统(5.6)的精确行波解'>5.3 当m=1,a>0时,系统(5.6)的精确行波解 |
| 0时,系统(5.6)的精确行波解'>5.5 当m=2,a>0时,系统(5.6)的精确行波解 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 可积Li(?)nard系统的精确行波解和分支问题研究 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 方程(6.4)在Chiellini可积条件下的首次积分 |
| 6.3 可积广义阻尼sine-Gordon方程(6.7)行波解的动力学行为 |
| 6.4 单边势相互作用下的可积Burgers方程(6.8)行波解的动力学行为 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（4）试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的产生与发展 |
| 1.2 回顾非线性发展方程的几种求解方法 |
| 1.2.1 齐次平衡法 |
| 1.2.2 双曲正切函数展开法 |
| 1.2.3 多线性变量分离法 |
| 1.2.4 概述辅助方程法 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 双曲正切函数展开法的改进及其应用 |
| 2.1 色散长波方程的多孤子新解 |
| 2.1.1 色散长波方程与齐次平衡法 |
| 2.1.2 色散长波方程的多孤子新解 |
| 2.1.3 色散长波方程解的性质研究 |
| 2.2 变形色散水波方程的多孤子新解 |
| 2.2.1 变形色散水波方程的多孤子新解 |
| 2.2.2 变形色散水波方程解的性质研究 |
| 2.3 (2+1)维耗散长波方程的多孤子新解及其局域激发 |
| 2.3.1 化简(2+1)维耗散长波方程 |
| 2.3.2 (2+1)维耗散长波方程的多孤子新解 |
| 2.3.3 (2+1)维耗散长波方程的局域激发与分形结构 |
| 第三章 函数变换及其应用 |
| 3.1 (2+1)维势Burgers系统的复合型新解 |
| 3.1.1 函数变换与(2+1)维势Burgers系统 |
| 3.1.2 Riccati方程的相关结论 |
| 3.1.3 (2+1)维势Burgers系统的复合型新解 |
| 3.2 (2+1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov系统的复合型新解 |
| 3.2.1 函数变换与(2+1)维ANNV系统 |
| 3.2.2 第二种椭圆方程的相关结论 |
| 3.2.3 (2+1)维ANNV系统的复合型新解 |
| 3.3 种(3+1)维非线性发展方程的复合型新解 |
| 3.3.1 函数变换与(3+1)维非线性发展方程 |
| 3.3.2 (3+1)维非线性发展方程的复合型新解 |
| 第四章 两种(3+1)维非线性发展方程的多孤子解 |
| 4.1 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的复合型新解 |
| 4.1.1 函数变换与(3+1)维Jimbo-Miwa方程 |
| 4.1.2 (3+1)维Jimbo-Miwa方程的复合型新解 |
| 4.2 (3+1)维破碎孤子方程的复合型解 |
| 4.2.1 形式解与(3+1)维破孤子方程的新解 |
| 4.2.2 (3+1)维破碎孤子方程复合型解的性质 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的科研成果 |
| 致谢 |
（5）几类非线性波动方程的可积性及孤立波解的谱稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性波动方程理论与方法的研究概况 |
| 1.1.1 非线性波动方程可积性研究的历史与现状 |
| 1.1.2 孤立波稳定性研究的历史与现状 |
| 1.2 本文问题产生的背景 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 双Bell多项式理论基础 |
| 1.3.2 广义对称理论基础 |
| 1.3.3 守恒律定义与Ibragimov守恒律定理 |
| 1.3.4 谱稳定性理论基础 |
| 1.4 本文的内容安排和创新点 |
| 1.4.1 本文内容安排 |
| 1.4.2 本文创新点 |
| 第二章 BKP方程的双线性形式和孤立波解 |
| 2.1 BKP方程的Hirota双线性表示和多波解 |
| 2.2 BKP方程的Complexiton-解和亮-暗块状波解 |
| 2.2.1 从Complexiton-解到亮-暗块状波解 |
| 2.2.2 从亮-暗块状波解到Complexiton-解 |
| 2.2.3 BKP方程的扭结-块状波相互作用解 |
| 2.3 BKP方程的Bell多项式型Backlund变换 |
| 2.4 BKP方程的Lax对 |
| 2.5 BKP方程的守恒律 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 BKP方程的对称、变换解和守恒律 |
| 3.1 BKP方程的对称和变换解 |
| 3.2 相似变换下的(1+1)维非线性偏微分方程 |
| 3.3 Lax对与变换解 |
| 3.3.1 达布协变Lax对 |
| 3.3.2 Lax对的变换解 |
| 3.4 BKP方程的守恒律 |
| 3.5 BKP方程的非自Backlund变换和非局部对称 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 两类拓展KP方程的块状波解 |
| 4.1 (2+1)维KdV方程的亮-暗块状波解 |
| 4.1.1 块状波解结构变化的理论分析 |
| 4.2 KP型系统的亮-暗块状波解 |
| 4.2.1 KP型系统的Complexiton-解 |
| 4.2.2 KP型系统的亮-暗块状波解 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 STO方程扭结波解的动力学行为 |
| 5.1 STO方程的扭结波解 |
| 5.2 STO方程扭结波解的谱稳定性 |
| 5.3 两扭结孤立波的相互作用 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章总结与展望 |
| 6.1 论文工作总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A BKP方程的守恒律分量 |
| 附录B 攻读博士学位期间发表论文目录 |
（6）非线性波动方程最简形式尖峰孤子解的存在性及求解方法（论文提纲范文）
| 1 解存在的充要条件和求解方法 |
| 2 解的存在性判断和求解实例 |
| 2.1 Oliver 水波方程 |
| 2.2 广义KdV方程K (2, 2, 1) |
| 2.3 (2+1) 维Nizhnik-Novikov-Veselov方程 |
| 3 结束语 |
（7）变系数非线性演化方程孤子解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 引言 |
| 1.1. 非线性演化方程简介 |
| 1.2. 孤子理论的发展进程 |
| 1.2.1. 孤子的发现 |
| 1.2.2. 理论上证明孤子的存在性 |
| 1.2.3. 孤子理论的发展情况及特点 |
| 1.3. 孤子理论的研究方法 |
| 1.3.1. 非线性演化方程可积性简述 |
| 1.3.2. Painleve分析法 |
| 1.3.3. Hirota双线性方法 |
| 1.3.4. Backlund变换法 |
| 1.3.5. 双线性Backlund变换 |
| 1.3.6. Wronskian技巧 |
| 1.3.7. Darboux变换法 |
| 1.3.8. AKNS方法 |
| 1.3.9. 非线性变量分离法 |
| 1.4. 本文的研究内容 |
| 2. 变系数(2+1)维破裂孤立子方程的多孤子解 |
| 2.1. 变系数(2+1)维破裂孤立子方程Painleve分析 |
| 2.2. 变系数(2+1)维破裂孤立子方程的Backlund变换 |
| 2.3. 变系数(2+1)维破裂孤立子方程的N-孤子解 |
| 2.3.1. 单孤子解的精确解表达式 |
| 2.3.2. 双孤子解的精确解表达式 |
| 2.3.3. 三孤子解的精确解表达式 |
| 2.3.4. N-孤子解的精确解表达式 |
| 2.4. 变系数(2+1)维破裂孤立子方程精确解的仿真图像 |
| 2.4.1. 单孤子解的仿真图像 |
| 2.4.2. 双孤子解的仿真图像 |
| 2.4.3. 三孤子解的仿真图像 |
| 3. 耦合变系数(2+1)维破裂孤立子方程的解析孤子解 |
| 3.1. 耦合变系数(2+1)维破裂孤立子方程的可积条件 |
| 3.2. 耦合变系数(2+1)维破裂孤立子方程的变量分离解 |
| 3.3. 耦合变系数(2+1)维破裂孤立子方程的局域激发 |
| 3.3.1. 多震荡lump解 |
| 3.3.2. 多瞬子解 |
| 3.3.3. 二鞍型行波环孤子解 |
| 3.3.4. 单环型呼吸子解 |
| 4. 结论 |
| 参考文献 |
| 申请学位期间研究成果及发表的学术论文 |
| 致谢 |
（8）基于动力系统理论的非线性波的定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 第一章 绪言 |
| 1.1 孤立波与孤立子 |
| 1.2 非线性波方程精确解的研究 |
| 1.2.1 Backlund变换法 |
| 1.2.2 Darboux变换法 |
| 1.2.3 Hirota双线性法 |
| 1.2.4 反散射方法 |
| 1.2.5 分离变量法 |
| 1.2.6 其他方法 |
| 1.3 非线性波方程的定性研究 |
| 1.3.1 非线性波方程与动力系统 |
| 1.3.2 非线性波方程解的存在性研究 |
| 1.3.3 非线性波方程解的稳定性研究 |
| 1.3.4 非线性波方程解的连续性研究 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 非线性波方程的单峰孤立波解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 K(2,2)方程的单峰孤立波解 |
| 2.2.1 单峰孤立波解的渐近行为 |
| 2.2.2 光滑与非光滑单峰孤立波解 |
| 2.3 Fornberg-Whitham方程的单峰孤立波解 |
| 2.3.1 单峰孤立波解的渐近行为 |
| 2.3.2 光滑与非光滑单峰孤立波解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 Phi-6方程周期波解的周期函数的定性研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 3.4 数值模拟 |
| 第四章 非线性Schr6dinger方程周期波解的稳定性研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 周期行波解的存在性 |
| 4.3 周期行波解的轨道稳定性 |
| 4.4 本章小节 |
| 第五章 非线性色散KdV方程的非一致连续性研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 周期波解存在的参数条件 |
| 5.3 周期波解的周期估计 |
| 5.4 周期波解的Sobolev估计 |
| 5.5 主要结果的证明 |
| 5.6 本章小节 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 研究结果 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（9）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（10）基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性科学研究的基本概况 |
| 1.2 孤立波与孤立子 |
| 1.3 偏微分方程求解方法概述 |
| 1.3.1 付里叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换法 |
| 1.3.2 贝克隆(Backlund)变换和达布(Darboux)变换法 |
| 1.3.3 反散射方法 |
| 1.3.4 分离变量法 |
| 1.3.5 广田(Hirota)双线性法和齐次平衡法 |
| 1.3.6 其他方法简介 |
| 1.4 偏微分方程与可积系统研究 |
| 1.5 偏微分方程的定性和稳定性研究 |
| 1.5.1 偏微分方程与动力系统 |
| 1.5.2 偏微分方程的定性研究 |
| 1.5.3 偏微分方程的稳定性研究 |
| 1.6 李对称与相似约化研究综述 |
| 1.7 本文的主要工作 |
| 第二章 理论准备 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 微分流形 |
| 2.3 李群及其李代数简介 |
| 2.4 不变群与向量场、向量场的延拓 |
| 2.5 对称与待定系数法 |
| 2.6 微分方程与动力系统 |
| 2.6.1 二维可积系统 |
| 2.6.2 研究非线性方程的动力系统方法 |
| 2.6.3 雅可比(Jacobi)椭圆函数 |
| 2.7 潘勒维尔(Painleve)分析简介 |
| 2.8 本章小结 |
| 第三章 Burgers'方程的对称分析与精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方程(3.1)的对称分析 |
| 3.3 方程(3.1)的对称约化与精确解 |
| 3.3.1 Burgers'方程的迭代解 |
| 3.3.2 Burgers'方程的约化解 |
| 3.4 基于幂级数法的方程(3.1)的精确解 |
| 3.5 本章小结与评注 |
| 第四章 推广的mKdV方程的对称分析、动力系统研究和精确解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 推广的mKdV方程的对称分析 |
| 4.3 推广的mKdV方程的行波解 |
| 4.3.1 方程(4.1)的行波变换 |
| 4.3.2 系统(4.5)相图分支 |
| 4.3.3 方程(4.1)的精确行波解 |
| 4.4 推广的mKdV方程的严格幂级数解 |
| 4.5 本章小结与注释 |
| 第五章 短脉冲方程的对称分析、动力系统分析与精确解 |
| 5.1 引言及预备知识 |
| 5.2 短脉冲方程的对称分析 |
| 5.3 对称的待定系数法 |
| 5.4 短脉冲方程的精确行波解 |
| 5.5 短脉冲方程的精确幂级数解 |
| 5.6 本章小结与注释 |
| 第六章 变系数债券方程的对称分析与精确解 |
| 6.1 引言及预备知识 |
| 6.2 债券方程的对称分析 |
| 6.3 对称约化与方程的精确解 |
| 6.4 方程的精确幂级数解 |
| 6.5 进一步的讨论 |
| 6.6 本章小结与注释 |
| 第七章 非线性演化方程的Painleve分析、对称与精确解 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 非线性演化方程的Painleve分析 |
| 7.3 三个非线性演化方程的对称分析 |
| 7.4 非线性演化方程的对称约化与精确解 |
| 7.4.1 非线性演化方程的行波解 |
| 7.4.2 非线性演化方程的其它约化解 |
| 7.5 非线性演化方程的其它精确解 |
| 7.5.1 非线性演化方程精确的幂级数解 |
| 7.5.2 基于Painleve截断展式的非线性演化方程的精确解 |
| 7.6 本章小结与注释 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 主要研究结果 |
| 8.2 主要创新点 |
| 8.3 研究展望 |
| 参考文献 |
| (一) 攻读博士学位期间接受发表的学术论文 |
| (二) 攻读博士学位前发表的部分论文 |
| 致谢 |
四、Compacton,Peakon,and Foldon Structures in the (2+1)-Dimensional Nizhnik-Novikov-Veselov Equation（论文参考文献）
- [1]多线性分离变量法在3+1维非线性系统中的应用[D]. 崔超杰. 华东师范大学, 2021
- [2]非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究[D]. 刘建国. 北京邮电大学, 2021(01)
- [3]非线性浅水波方程的分支问题与精确解研究[D]. 朱文静. 浙江师范大学, 2018(01)
- [4]试探函数法与几种非线性发展方程的多种新解及性质研究[D]. 刘威. 内蒙古师范大学, 2017(02)
- [5]几类非线性波动方程的可积性及孤立波解的谱稳定性研究[D]. 王传坚. 昆明理工大学, 2017(10)
- [6]非线性波动方程最简形式尖峰孤子解的存在性及求解方法[J]. 刘煜,刘伟庆. 安徽大学学报(自然科学版), 2013(03)
- [7]变系数非线性演化方程孤子解的研究[D]. 蔡九鲜. 北方工业大学, 2012(10)
- [8]基于动力系统理论的非线性波的定性研究[D]. 陈爱永. 昆明理工大学, 2012(10)
- [9]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [10]基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D]. 刘汉泽. 昆明理工大学, 2009(12)